POJ2429_GCD & LCM Inverse【Miller Rabin素数测试】【Pollar Rho整数分解】

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POJ Achilles

题目大意：给你两个数a和b的最大公约数和最小公倍数，求a和b

（其中在满足条件的情况下，使a+b尽量小）

思路：最大公约数和最小公倍数的规模为2^63，暴力果断不行。

已知a*b = L(最小公倍数)*G(最大公约数)；

设p = L/a，q = L/b，s = L/G；

即p、q为a和b除去最大公约数的部分，且两者互质；

GCD（p，q） = 1，LCM（p，q） = p * q = L*L/(a*b) = L*L/(L*G) = L/G = s。

LCM（p，q） = s；

由上可得我们可由s求出a和b。此题就是让我们把s分解成两个互质数相乘的形式。

用Pollar Rho整数分解和Miller Rabin素数测试结合起来，将s的所有质因子分解出来。

因为GCD（p，q） = 1，所有相同的质数不能同时分到p和q中，应将相同的质数分开放。

这里我们把所有相同的质数当做一个整体。将这些数枚举相乘，找到最接近s的平方根且不

大于s的平方根的组合即为p，则q = s/p

最终a = L/p，b = L/q

例如 G L 为 2 120

s = 60 = 2 * 2 * 3 * 5 = 4 * 3 * 5。枚举进行组合，找到最接近根号60并不超过根号60的

值为5，即p = 5，则q = 60/5 = 12。最终a = 24，b = 10。

参考博文：http://blog.sina.com.cn/s/blog_69c3f0410100uac0.html

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX_VAL (pow(2.0,60))
//miller_rabbin素性测试
//__int64 mod_mul(__int64 x,__int64 y,__int64 mo)
//{
//    __int64 t;
//    x %= mo;
//    for(t = 0; y; x = (x<<1)%mo,y>>=1)
//        if(y & 1)
//            t = (t+x) %mo;
//
//    return t;
//}

__int64 mod_mul(__int64 x,__int64 y,__int64 mo)
{
    __int64 t,T,a,b,c,d,e,f,g,h,v,ans;
    T = (__int64)(sqrt(double(mo)+0.5));

    t = T*T - mo;
    a = x / T;
    b = x % T;
    c = y / T;
    d = y % T;
    e = a*c / T;
    f = a*c % T;
    v = ((a*d+b*c)%mo + e*t) % mo;
    g = v / T;
    h = v % T;
    ans = (((f+g)*t%mo + b*d)% mo + h*T)%mo;
    while(ans < 0)
        ans += mo;
    return ans;
}

__int64 mod_exp(__int64 num,__int64 t,__int64 mo)
{
    __int64 ret = 1, temp = num % mo;
    for(; t; t >>=1,temp=mod_mul(temp,temp,mo))
        if(t & 1)
            ret = mod_mul(ret,temp,mo);

    return ret;
}

bool miller_rabbin(__int64 n)
{
    if(n == 2)
        return true;
    if(n < 2 || !(n&1))
        return false;
    int t = 0;
    __int64 a,x,y,u = n-1;
    while((u & 1) == 0)
    {
        t++;
        u >>= 1;
    }
    for(int i = 0; i < 50; i++)
    {
        a = rand() % (n-1)+1;
        x = mod_exp(a,u,n);
        for(int j = 0; j < t; j++)
        {
            y = mod_mul(x,x,n);
            if(y == 1 && x != 1 && x != n-1)
                return false;
            x = y;
        }
        if(x != 1)
            return false;
    }
    return true;
}
//PollarRho大整数因子分解
__int64 minFactor;
__int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a % b);
}

__int64 PollarRho(__int64 n, int c)
{
    int i = 1;
    srand(time(NULL));
    __int64 x = rand() % n;
    __int64 y = x;
    int k = 2;
    while(true)
    {
        i++;
        x = (mod_exp(x,2,n) + c) % n;
        __int64 d = gcd(y-x,n);
        if(1 < d && d < n)
            return d;
        if(y == x)
            return n;
        if(i == k)
        {
            y = x;
            k *= 2;
        }
    }
}
__int64 ans[1100],cnt;
void getSmallest(__int64 n, int c)
{
    if(n == 1)
        return;
    if(miller_rabbin(n))
    {
        ans[cnt++] = n;
        return;
    }
    __int64 val = n;
    while(val == n)
        val = PollarRho(n,c--);
    getSmallest(val,c);
    getSmallest(n/val,c);
}
__int64 a,b,sq;
void choose(__int64 s,__int64 val)
{
    if(s >= cnt)
    {
        if(val > a && val <= sq)
            a = val;
            return;
    }
    choose(s+1,val);
    choose(s+1,val*ans[s]);
}

int main()
{
    int T;
    __int64 G,L;
    while(~scanf("%I64d%I64d",&G,&L))
    {
        if(L == G)
        {
            printf("%I64d %I64d\n",G,L);
            continue;
        }
        L /= G;
        cnt = 0;
        getSmallest(L,200);
        sort(ans, ans+cnt);
        int j = 0;
        for(int i = 1; i < cnt; i++)
        {
            while(ans[i-1] == ans[i] && i < cnt)
                ans[j] *= ans[i++];
            if ( i < cnt )
                ans[++j] = ans[i];
        }

        cnt = j+1;
        a = 1;
        sq = (__int64)sqrt(L+0.0);
        choose(0,1);
        printf("%I64d %I64d\n",a*G,L/a*G);
    }
    return 0;
}

POJ2429_GCD & LCM Inverse【Miller Rabin素数测试】【Pollar Rho整数分解】

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原文地址：http://blog.csdn.net/lianai911/article/details/40108905