逻辑研究

问题：A和B晚上无聊就开始数星星。每次只能数k个（20<=k<=30），A和B轮流数。最后谁把星星数完谁就获胜，那么当星星数量为多少时A必胜？
解答：
这种类型的题目见的非常多了，每次就换个数字，这次就给个一般化的解法。
从简单的问题入手进行分析。有一堆石头，两个人轮流取，每次可以取1个，2个或3个。最后谁把石头取完谁获胜。问用什么策略来取胜。
假设经过前面在的一阵乱取XD，最后剩几个，你让对方取完，怎么保证你能把剩下的都取走？很直观的，剩下4个。对方无论取1个，2个还是3个，你都能把剩下的取完。OK，往前推，只要每次石头的个数是4的倍数的时候，轮到对方取，他拿x个，你就拿4-x个，你就一定会获胜。设石头总数为n，必胜的策略如下：
1.如果n是4的倍数，让对方先拿。每次他拿x个，你就拿4-x个。
2.如果n不是4的倍数，你先拿。拿走一些，使剩下的石头数是4的倍数，然后同上。

好的，把问题一般化一下。假设我们每次可以拿的石头数量是[a，b]，闭区间，表示最少要拿a个，最多只能拿b个。那么，又是一阵乱取，最后剩一点，让对方拿，对方拿完后，你一定能取完剩下石头的条件是：最后剩那一点的数量是a+b个。那么，对方最少拿a个，剩下b个，你可以取完；对方最多拿b个，剩下a个，你可以取完。对方拿x个，剩下的a+b-x你一定可以取完。这回必胜的策略如下，和上面略有不同：
1.如果n是a+b的倍数，让对方先拿，每次他拿走x个，你就拿a+b-x个。
2.如果n不是a+b的倍数，假设n=（a+b）*p+q，那么，你先拿。你要拿走q个，才能使剩下的石头是a+b的倍数，才能保证你赢。因此q要满足你能拿走的数量条件，即a<=q<=b;

经常会遇到的特例，就是一次可拿1-m（即a=1，b=m）个石头，那么根据上面的策略，无论石头数量是多少，A都有必胜的策略。因为对于数量不能整除（1+m）的数量n，有n=（1+m）*p+q，q必满足1<=q<=m的。

Ok，这道数星星的题目已经异常简单了。问的是星星数量为多少时A必胜。从上面的策略可知：当星星数量n可以整除50时，或者当n对50取余落在区间[20,30]时，A必胜。（当然谁先拿要由A来决定）

让我们来扩展一下，换个思路，如果最后取完石头的人认输，那又该怎么解？还是老样子，我们每次可拿的石头数量是区间[a，b]。当最后取完石头的人赢，我们已经得出了A取胜的策略，那么要推出最后取完石头的人输其实并不难了。我们只要留下最后a个石头给对方（B），而他最少有必需拿a个，因此他就输了。
策略如下：
1.如果n=a+（a+b）*p，让对方先拿，每次他拿x个，你就拿a+b-x个，最后必然剩下a个给对方拿。
2.如果无法表示成上面的形式，即n=a+（a+b）*p+q（q不等于0），那么你先拿，拿走q个，是n=a+（a+b）*p，接下来就和1一样了。由于你每次能拿的石头数量是[a,b]，因此q要满足:a<=q<=b.

特例：当a=1，b=m时，即每次能拿1到m个石头，无论石头总数n是多少，A都有必胜策略。因为此时n一定可以可以表示成n=1+（1+m）*p或是n=1+（1+m）*p+q（1<=q<=m）。
再总结一下，如果有一堆石头，每次能取1到m个，那么无论石头数量n是多少，也无论最后拿完石头的人判定为赢还是输，只要A能决定谁先拿，他就一定有必胜的策略。

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程序员有趣的面试智力题

偶然间在网上看到几个原来没见过的面试智力题，有几个题目在国内流传相当广，什么 n个人怎么分饼最公平，屋里的三个灯泡分别由哪个开关控制，三架飞机环游世界，用火柴和两根绳子测量 45分钟之类的题目，火星得已经可以考古了，这里就不再说了。

     1、考虑一个双人游戏。游戏在一个圆桌上进行。每个游戏者都有足够多的硬币。他们需要在桌子上轮流放置硬币，每次必需且只能放置一枚硬币，要求硬币完全置 于桌面内（不能有一部分悬在桌子外面），并且不能与原来放过的硬币重叠。谁没有地方放置新的硬币，谁就输了。游戏的先行者还是后行者有必胜策略？这种策略 是什么？
    答案：先行者在桌子中心放置一枚硬币，以后的硬币总是放在与后行者刚才放的地方相对称的位置。这样，只要后行者能放，先行者一定也有地方放。先行者必胜。

    2、 用线性时间和常数附加空间将一篇文章的单词（不是字符）倒序。
    答案：先将整篇文章的所有字符逆序（从两头起不断交换位置相对称的字符）；然后用同样的办法将每个单词内部的字符逆序。这样，整篇文章的单词顺序颠倒了，但单词本身又被转回来了。

    3、 用线性时间和常数附加空间将一个长度为 n的字符串向左循环移动m位（例如， "abcdefg"移动3 位就变成了"defgabc"）。 
    答案：把字符串切成长为 m和n-m 的两半。将这两个部分分别逆序，再对整个字符串逆序。

    4、一个矩形蛋糕，蛋糕内部有一块矩形的空洞。只用一刀，如何将蛋糕切成大小相等的两块？ 
    答案：注意到平分矩形面积的线都经过矩形的中心。过大矩形和空心矩形各自的中心画一条线，这条线显然把两个矩形都分成了一半，它们的差当然也是相等的。

    5、 一块矩形的巧克力，初始时由 N x M个小块组成。每一次你只能把一块巧克力掰成两个小矩形。最少需要几次才能把它们掰成 N x M块1x1 的小巧克力？
    答案： N x M - 1次显然足够了。这个数目也是必需的，因为每掰一次后当前巧克力的块数只能增加一，把巧克力分成 N x M块当然需要至少掰N x M - 1次。

    6、如何快速找出一个 32位整数的二进制表达里有多少个 "1"？用关于"1" 的个数的线性时间？
    答案1 （关于数字位数线性）： for(n=0; b; b >>= 1) if (b & 1) n++;
    答案 2（关于"1" 的个数线性）： for(n=0; b; n++) b &= b-1;

    7、 一个大小为N 的数组，所有数都是不超过 N-1的正整数。用O(N)的时间找出重复的那个数（假设只有一个）。一个大小为 N的数组，所有数都是不超过 N+1的正整数。用O(N)的时间找出没有出现过的那个数（假设只有一个）。
    答案：计算数组中的所有数的和，再计算出从 1到N-1 的所有数的和，两者之差即为重复的那个数。计算数组中的所有数的和，再计算出从 1到N+1 的所有数的和，两者之差即为缺少的那个数。

    8、 给出一行C 语言表达式，判断给定的整数是否是一个 2的幂。
    答案：(b & (b-1)) == 0

    9、地球上有多少个点，使得从该点出发向南走一英里，向东走一英里，再向北走一英里之后恰好回到了起点？ 
    答案： “北极点” 是一个传统的答案，其实这个问题还有其它的答案。事实上，满足要求的点有无穷多个。所有距离南极点 1 + 1/(2π)英里的地方都是满足要求的，向南走一英里后到达距离南极点 1/(2π)的地方，向东走一英里后正好绕行纬度圈一周，再向北走原路返回到起点。 事实上，这仍然不是满足要求的全部点。距离南极点 1 + 1/(2kπ)的地方都是可以的，其中 k可以是任意一个正整数。

      10、 A、B 两人分别在两座岛上。 B生病了，A 有B所需要的药。 C有一艘小船和一个可以上锁的箱子。 C愿意在A 和B之间运东西，但东西只能放在箱子里。只 要箱子没被上锁，C都会偷走箱子里的东西，不管箱子里有什么。如果 A和B 各自有一把锁和只能开自己那把锁的钥匙， A应该如何把东西安全递交给 B？
    答案： A把药放进箱子，用自己的锁把箱子锁上。 B拿到箱子后，再在箱子上加一把自己的锁。箱子运回 A后，A 取下自己的锁。箱子再运到 B手中时，B 取下自己的锁，获得药物。

    11、 一对夫妇邀请N-1对夫妇参加聚会（因此聚会上总共有 2N人）。每个人都和所有自己不认识的人握了一次手。然后，男主人问其余所有人（共 2N-1个人）各自都握了几次手，得到的答案全部都不一样。假设每个人都认识自己的配偶，那么女主人握了几次手？ 
    答案：握手次数只可能是从 0到2N-2 这2N-1个数。除去男主人外，一共有 2N-1个人，因此每个数恰好出现了一次。其中有一个人 (0)没有握手，有一 个人 (2N-2)和所有其它的夫妇都握了手。这两个人肯定是一对夫妻，否则后者将和前者握手（从而前者的握手次数不再是 0）。除去这对夫妻外，有一个人 (1)只与(2N-2) 握过手，有一个人 (2N-3)和除了(0) 以外的其它夫妇都握了手。这两个人肯定是一对夫妻，否则后者将和前者握手（从而前者的握 手次数不再是1）。以此类推，直到握过 N-2次手的人和握过N次手的人配成一对。此时，除了男主人及其配偶以外，其余所有人都已经配对。根据排除法，最后 剩下来的那个握手次数为 N-1的人就是女主人了。

 

    12、两个机器人，初始时位于数轴上的不同位置。给这两个机器人输入一段相同的程序，使得这两个机器人保证可以相遇。程序只能包含 “左移n 个单位”、 “右 移n个单位 ”，条件判断语句If，循环语句 while，以及两个返回Boolean值的函数 “在自己的起点处”和 “在对方的起点处”。你不能使用其它的变 量和计数器。
    答案：两个机器人同时开始以单位速度右移，直到一个机器人走到另外一个机器人的起点处。然后，该机器人以双倍速度追赶对方。程序如下。

while(!at_other_robots_start) {
  move_right 1
}
while(true) {
  move_right 2
}

    13、 如果叫你从下面两种游戏中选择一种，你选择哪一种？为什么？
      a. 写下一句话。如果这句话为真，你将获得 10美元；如果这句话为假，你获得的金钱将少于 10美元或多于10 美元（但不能恰好为 10美元）。
      b. 写下一句话。不管这句话的真假，你都会得到多于 10美元的钱。
    答案：选择第一种游戏，并写下 “我既不会得到10美元，也不会得到 10000000美元” 。

      14 、你在一幢100层大楼下，有 21根电线线头标有数字1..21。这些电线一直延伸到大楼楼顶，楼顶的线头处标有字母 A..U。你不知道下面的数字和 上面的字母的对应关系。你有一个电池，一个灯泡，和许多很短的电线。如何只上下楼一次就能确定电线线头的对应关系？ 
       答 案：在下面把2,3连在一起，把 4到6 全连在一起，把 7到10 全连在一起，等等，这样你就把电线分成了 6个“ 等价类”，大小分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6。然后到楼顶，测出哪根线和其它所有电线都不相连，哪些线和另外一根相连，哪些线和另外两根相连，等等，从而确定出字母 A..U各属于哪个等价类。现 在，把每个等价类中的第一个字母连在一起，形成一个大小为 6的新等价类；再把后5个等价类中的第二个字母连在一起，形成一个大小为 5的新等价类；以此类 推。回到楼下，把新的等价类区别出来。这样，你就知道了每个数字对应了哪一个原等价类的第几个字母，从而解决问题。

    15、某种药方要求非常严格，你每天需要同时服用 A、B 两种药片各一颗，不能多也不能少。这种药非常贵，你不希望有任何一点的浪费。一天，你打开装药片 A 的药瓶，倒出一粒药片放在手心；然后打开另一个药瓶，但不小心倒出了两粒药片。现在，你手心上有一颗药片 A，两颗药片B ，并且你无法区别哪个是 A，哪个是 B。你如何才能严格遵循药方服用药片，并且不能有任何的浪费？ 
    答案：把手上的三片药各自切成两半，分成两堆摆放。再取出一粒药片 A，也把它切成两半，然后在每一堆里加上半片的 A。现在，每一堆药片恰好包含两个半片的 A和两个半片的B。一天服用其中一堆即可。

     16、 你在一个飞船上，飞船上的计算机有 n个处理器。突然，飞船受到外星激光武器的攻击，一些处理器被损坏了。你知道有超过一半的处理器仍然是好的。你可以向一 个处理器询问另一个处理器是好的还是坏的。一个好的处理器总是说真话，一个坏的处理器总是说假话。用 n-2次询问找出一个好的处理器。
        答 案：给处理器从 1到n 标号。用符号 a->b表示向标号为a的处理器询问处理器 b是不是好的。首先问1->2，如果 1说不是，就把他们俩都去掉 （去掉了一个好的和一个坏的，则剩下的处理器中好的仍然过半），然后从 3->4开始继续发问。如果1说 2是好的，就继续问 2->3， 3->4，…… 直到某一次j说 j+1是坏的，把j 和j+1去掉，然后问 j-1 -> j+2；或者从 j+2 -> j+3开始发问，如果前面已经没有 j-1了（之前已经被去掉过了）。注意到你始终维护着这样一个 “链” ，前面的每一个处理器都说后面那个是好的。这条链里 的所有处理器要么都是好的，要么都是坏的。当这条链越来越长，剩下的处理器越来越少时，总有一个时候这条链超过了剩下的处理器的一半，此时可以肯定这条链 里的所有处理器都是好的。或者，越来越多的处理器都被去掉了，链的长度依旧为 0，而最后只剩下一个或两个处理器没被问过，那他们一定就是好的了。另外注意 到，第一个处理器的好坏从来没被问过，仔细想想你会发现最后一个处理器的好坏也不可能被问到（一旦链长超过剩余处理器的一半，或者最后没被去掉的就只剩这 一个了时，你就不问了），因此询问次数不会超过 n-2。

      17、一个圆盘被涂上了黑白二色，两种颜色各占一个半圆。圆盘以一个未知的速度、按一个未知的方向旋转。你有一种特殊的相机可以让你即时观察到圆上的一个点的颜色。你需要多少个相机才能确定圆盘旋转的方向？ 
      答案：你可以把两个相机放在圆盘上相近的两点，然后观察哪个点先变色。事实上，只需要一个相机就够了。控制相机绕圆盘中心顺时针移动，观察颜色多久变一 次；然后让相机以相同的速度逆时针绕着圆盘中心移动，再次观察变色的频率。可以断定，变色频率较慢的那一次，相机的转动方向是和圆盘相同的。

     18、 有25匹马，速度都不同，但每匹马的速度都是定值。现在只有 5条赛道，无法计时，即每赛一场最多只能知道 5匹马的相对快慢。问最少赛几场可以找出 25匹马中速度最快的前3名？ （百度2008 年面试题）

每匹马都至少要有一次参赛的机会，所以 25匹马分成5 组，一开始的这 5场比赛是免不了的。接下来要找冠军也很容易，每一组的冠军在一起赛一场就行了 （第6 场）。最后就是要找第 2和第3 名。我们按照第 6场比赛中得到的名次依次把它们在前 5场比赛中所在的组命名为 A、B 、C、 D、E 。即：A组的冠军是第 6场的第1 名，B组的冠军是第 6场的第2 名……每一组的 5匹马按照他们已经赛出的成绩从快到慢编号：

A组： 1，2，3， 4，5
B组：1， 2，3 ，4， 5
C组：1， 2，3 ，4， 5
D组：1， 2，3 ，4， 5
E组：1， 2，3 ，4， 5

从现在所得到的信息，我们可以知道哪些马已经被排除在 3名以外。只要已经能确定有 3匹或3 匹以上的马比这匹马快，那么它就已经被淘汰了。可以看到， 只有上表中粗体的那5匹马是有可能为 2、3 名的。即： A组的2 、3名； B组的1 、2名， C组的第1 名。取这 5匹马进行第7场比赛，第 7场比赛的前两名就是 25匹马中的 2、3 名。故一共最少要赛 7场。

这道题有一些变体，比如 64匹马找前4 名。方法是一样的，在得出第 1名以后寻找后3名的候选竞争者就可以了。

Link: http://www.starming.com/index.php?action=plugin&v=wave&tpl=union&ac=viewgrouppost&gid=32767&tid=1000003262

 1、一个经理有三个女儿，三个女儿的年龄加起来等于13，三个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有一个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，这时经理说只有一个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理三个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？ 

2、有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜了的布质、大小完全相同， 而每对袜了都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜了混在一起。他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢？
3.门外三个开关分别对应室内三盏灯，线路良好，在门外控制开关时候不能看到室内灯的情况，现在只允许进门一次，确定开关和灯的对应关系？
4.你有两个罐子以及50个红色弹球和50个蓝色弹球，随机选出一个罐子， 随机选出一个弹球放入罐子，怎么给出红色弹球最大的选中机会？在你的计划里，得到红球的几率是多少？
答案：1.此经理有一对双胞胎女儿，她们的年龄分别是：2岁、2岁、9岁；经理的年龄是32岁；有以下几种可能：1*1*11=11，1*2**10=20，1*3*9=27，1*4*8=32，1*5*7=35，{1*6*6=36}，{2*2*9=36}，2*3*8=48，2*4*7=56，2*5*6=60，3*3*7=63，3*4*6=72，3*5*5=75，4*4*5=80 而其中，只有一个女儿头发是黑的说明有一个年纪比较大，剩下两个较小，因此只有2*2*9=36一种可能
2.把袜子放在太阳下晒一晒 黑色吸热后温度升高 四双黑色和四双百色的就区分出来了 再一人两双就好
3.在门外开两盏灯 其中，一盏一直开着 一盏开十分钟后关掉；进屋，亮着的是那盏对应一直开着的，没亮的两盏中灯泡热的对应刚才关掉的，凉的对应没开过的那盏
4.红色弹球最大的选中机会：一个罐子放一个红球,另一个罐子放49个红球和50个蓝球,得到红球概率大于50%.