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麻省理工公开课:线性代数 第6课 列空间和零空间

时间:2019-01-23 00:14:26      阅读:27      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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参考资料:

网易公开课:http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html  麻省理工公开课:线性代数

一、向量空间和子空间(加法封闭、数乘封闭

向量空间$R^3$的子空间:$R^3$、任意经过原点$(0, 0, 0)$的平面$P$和直线$L$、只包含零向量的空间$Z$

并集:$P\bigcup L$是子空间吗?  //否!对加法运算不封闭

交集:$P\bigcap L$是子空间吗?  //是!

结论:任意子空间的交集仍然是子空间

二、矩阵列空间 $C(A)$:所有列向量的线性组合构成的子空间

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(1)因为$A$为$4\times 3$矩阵,列向量为四维向量,所以列空间$C(A)$是$R^4$的子空间(子空间)

(2)$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$对任何$\mathbf{b}$都有解吗?  //否!当且仅当$\mathbf{b}$位于矩阵$A$的列空间$C(A)$时,有解!

(3)由于矩阵$A$的第三列为前两列的线性组合(和),所以列向量是线性相关的,列空间$C(A)$仅为$R^4$的二维子空间

三、矩阵零空间 $N(A)$:$A\mathbf{x}=\color{red}0$的所有解$\mathbf{x}$构成的子空间  //与$\mathbf{b}$无关,等价于$\mathbf{b}=\mathbf{0}$

(1)因为$A$为$4\times 3$矩阵,向量$\mathbf{x}$为三维向量,所以零空间$N(A)$是$R^3$的子空间

(2)本例的零空间为$R^3$中的一条直线$c(1, 1, -1)$  //记(1, 1, -1)为列向量,[1 1 -1]为行向量

(3)验证 $N(A)$为子空间

  假设:$A\mathbf{v}=0$、$A\mathbf{w}=0$

  则:$A(\mathbf{v}+\mathbf{w})=A\mathbf{v}+A\mathbf{w}=0$(加法封闭

    $A(c\mathbf{v})=cA\mathbf{v}=0$(数乘封闭

(4)$A\mathbf{x}=\mathbf{b}, \mathbf{b}\neq\mathbf{0}$ 的所有解是否构成子空间?  //否!解中不包含原点$\mathbf{0}$,本例中所有的解构成不穿过原点的直线

四、构造子空间的两类方法

(1)已知空间内的向量,通过线性组合进行构造  //列空间

(2)已知空间内向量必须满足的方程组,而空间内的向量未知  //零空间

 

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麻省理工公开课:线性代数 第6课 列空间和零空间

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