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TopCoder SRM502 Div1 1000 动态规划

时间:2019-01-24 23:03:53      阅读:204      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:gcd   stat   方案   pre   不同的   coder   答案   under   pow   

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/SRM502-1000.html

SRM502 Div1 1000

题意

从 [0,n-1] 中选择 k 个不同的整数,使得他们的和是 n 的倍数,求方案数。对 \(10^9+7\) 取模。

\(n\leq 10^9,k\leq 1000\)

题解

? 首先我们考虑从 n 个里面选择 k 个并进行排列的方案数,最终只需要除以 k! 就好了。

? 设 \(M=n\)

? 设 \(f(n,m,t)\) 表示 在 \(0,1,\cdots M-1\) 中任选 \(n\) 个,并使得 \((\sum_{1\leq i < n } x_i ) + t x_n \equiv 0 \pmod m\cdots (1)\) (设取的第 \(i\) 个为 \(x_i\) ) 。

? 则答案显然是 \(f(k,n,1)\)

? 于是我们考虑如何求解这个函数。

\(f(n,m,t)=\)

  1. 如果 $n=0 $ ,那么返回 \(1\)

  2. 如果 \(m = 1\) ,那么 (1) 式恒成立,答案就是 \(n!\binom{M}{n} = M^{\underline{n}}\)

  3. 否则,我们通过容斥,分类讨论(结果就是下面 (1) 的贡献减掉 (2) 的贡献)。

    (1) \(x_i(i<n)\) 中可能存在与 \(x_n\) 相等的数(也可能不存在):相当于选择 \(n-1\) 个数存在 \(x_n\) 使得 \((\sum_{1\leq i < n } x_i ) + t x_n \equiv 0 \pmod m\) ,设 \(g = \gcd(t,m)\),则方案数 \(=f(n-1,g,1)\) ,对于 \(x_n\) ,我们也可以确定其取值个数,即 \(Mg/m\)

    (2) \(x_i(i<n)\) 中存至少一个与 \(x_n\) 相等的数。则在 \(x_1\cdots x_{n-1}\) 个中任选一个和 \(x_n\) 相等,有 \(n-1\) 种可能,乘上对应的方案数 \(f(n-1,m,t+1)\) 即可。

由于我们经常要用到 \(f(a,b,1)\) ,所以我们对于 \(f(a,b,1)\) 记忆化一下,然后搜索即可。注意 \(f(a,n,1)\) 这种要特殊处理。

代码

static const int N=1005,mod=1e9+7;
int M;
int dp[N][N],Fac[N];
int Pow(int x,int y){
    int ans=1;
    for (;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod)
        if (y&1)
            ans=1LL*ans*x%mod;
    return ans;
}
int gcd(int x,int y){
    return y?gcd(y,x%y):x;
}
int f(int n,int m,int t){
    if (n==0)
        return 1;
    if (m==1)
        return Fac[n];
    int g=gcd(m,t);
    // sum + t * x = 0 
    // c(sum = 0) - c(sum = 0 && (t+1))
    if (t==1){
        int _m=min(m,1000+1);
        if (~dp[n][_m])
            return dp[n][_m];
        dp[n][_m]=((1LL*f(n-1,g,1)*(M/m*g)
                  -1LL*f(n-1,m,t+1)*(n-1))%mod+mod)%mod;
        return dp[n][_m];
    }
    int res=((1LL*f(n-1,g,1)*(M/m*g)
             -1LL*f(n-1,m,t+1)*(n-1))%mod+mod)%mod;
    return res;
}
int find(int N, int K){
    M=N;
    memset(dp,-1,sizeof dp);
    int t=1;
    Fac[0]=1;
    for (int i=1;i<=K;i++){
        t=1LL*t*i%mod;
        Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*(N-i+1)%mod;
    }
    t=Pow(t,mod-2);
    int ans=1LL*t*f(K,N,1)%mod;
    return ans;
}

TopCoder SRM502 Div1 1000 动态规划

标签:gcd   stat   方案   pre   不同的   coder   答案   under   pow   

原文地址:https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/SRM502-1000.html

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