欧拉函数-Product

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原题地址

先吐槽一波：凉心出题人又卡时间又卡空间

先来化简一波柿子

\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\]

\[=\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}\frac{i*j}{gcd(i,j)^2}\]

\[=(\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}i*j)*(\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}gcd(i,j))^{-2}\]

先看前面的那一坨：

\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}i*j\]

$\(=\prod_{i=1}^{n}(i^n*n!)\)（不理解可以把上述式子打开，就可以发现了）

\[=(n!)^{n}*\prod_{i=1}^{n}i^n\]

\[=(n!)^n*(n!)^n\]

\[=(n!)^{2n}\]

然后我们来看后面那一坨（先不看-2次方）：

\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}gcd(i,j)\]

\[=\prod_{d=1}^{n}\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]\]

\[=\prod_{d=1}^{n}d^{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]}\]

\[=\prod_{d=1}^{n}d^{\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)==1]}\]

先只看指数：

\[\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)==1]\]

这不就是仪仗队吗？

所以我们只要求出啦欧拉函数前缀和，就可以用欧拉函数\(O(1)\)算出指数了~

所以我们把柿子综合一下：

令\[sum[x]=\sum_{i=1}^x\phi(i)\]

原式化为：\[(n!)^{2n}*(\Pi_{d=1}^{n}d^{2*sum[\frac{n}{d}]-1})^{-2}\]

然后我们就可以\(O(nlogn)\)求出答案了

最后注意一下，因为欧拉函数前缀和会爆int，所以要用longlong，但是这样就会MLE，所以我们要考虑优化

根据欧拉定理，因为模数为质数，所以\(\phi(mod)=mod-1\)，所以原式我们可以进一步化为：

\[(n!)^{2n}*(\prod_{d=1}^{n}d^{(2*sum[\frac{n}{d}]-1)\%(mod-1)})^{-2}\]

这样就可以不需要longlong了

下面给出代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d\n",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
#define ll long long
#define mod 104857601
il int read()
{
    re int x=0,f=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}
#define maxn 1000000+5
int n,cnt,ans1=1,prim[80000],ans2=1,pai[maxn];
bool vis[maxn];
il int qpow(int a,ll b)
{
    int r=1;
    while(b)
    {
        if(b&1ll) r=1ll*r*a%mod;
        b>>=1ll;
        a=1ll*a*a%mod;
    }
    return r;
}
int main()
{
    n=read();
    pai[1]=1;
    for(re int i=2;i<=n;++i)
    {
        ans1=1ll*ans1*i%mod;
        if(!vis[i]) prim[++cnt]=i,pai[i]=i-1;
        for(re int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(prim[j]*i>n) break;
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0) {pai[i*prim[j]]=pai[i]*prim[j];break;}
            pai[i*prim[j]]=pai[prim[j]]*pai[i];
        }
    }
    for(re int i=1;i<=n;++i) pai[i]=pai[i]*2+pai[i-1]%(mod-1);
    ans1=qpow(ans1,2*n);
    for(re int i=2;i<=n;++i) ans2=1ll*ans2*qpow(i,pai[n/i]-1)%mod;
    printf("%d",(1ll*ans1*qpow(1ll*ans2*ans2%mod,mod-2))%mod);
    return 0;
}

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