机器学习--线性回归模型原理

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线性回归, 是回归分析中的一种, 其表示自变量与因变量之间存在线性关系. 回归分析是从数据出发, 考察变量之间的数量关系, 并通过一定的数学关系式将这种关系描述出来, 再通过关系式来估计某个变量的取值, 同时给出该估计的可靠程度. 下面我们从一元线性回归开始说起.

1. 一元线性回归

在回归分析中如果只涉及一个自变量(用来预测的变量)和一个因变量(要预测的变量), 这时就称为一元回归, 如果自变量与因变量之间存在线性关系, 那么此时的回归就称为一元线性回归.

1.1 模型

假设自变量x和因变量y存在线性关系, 那么x和y的线性关系函数可以表示为:

由于该函数是假设x和y存在线性关系, 因此该函数可以称为假设函数. 我们把描述因变量y和自变量x关系的函数称为回归模型, 故该函数又称一元线性回归模型.其中和称为模型参数, 不同的参数将会构造不同的模型, 因此构建模型的关键之处在于选择参数, 怎么样才能算好的参数呢?

由于我们构建模型的最终目的是用来预测, 因此好参数构建的模型应该具备很好的预测能力, 也就是说预测值和实际值差异很小, 我们把预测值h(x)与实际值y之间的差异称为误差. 对于某个值来说误差就是h(xⁱ)-yⁱ, 对于整个模型来说, 则是对所有误差进行求和, 但由于误差中有正负之分, 因此会产生误差相互抵消, 为了避免存在这种抵消问题, 对误差进行平方求和, 再对其求平均, 故有平均误差平方和, 其表示为

其中, m是样本量. h(x⁽ⁱ⁾)表示第i个预测值, 与之对应的实际值则是y⁽ⁱ⁾.

这种误差可以认为是实际值或者期望值的损失, 故该误差函数可以称为损失函数(有时也称为代价函数). 我们可以根据损失函数数值最小来选出最优模型(很好的预测能力).

1.2. 算法

这里我将介绍两种基于损失函数最小的算法: 梯度下降法和最小二乘法.

1. 梯度下降法

什么是梯度? 引出百度百科定义:

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

在单个自变量函数曲线中, 梯度也就是曲线上某点处的斜率, 而对于我们的损失函数来说, 其有两个自变量和, 故这两个自变量与损失函数将构成三维曲面.

可以将这三维曲面想象成一座山, 我们现在的目标是山底, 我们要想最快下山, 就需要走最陡峭的方向, 而最陡峭的方向可以看成是当前方向(下山方向)中变化最大的反方向. (其中, 变化最大的方向是指从下山改为上山, 与目标不符, 故取其反方向, 即最大的反方向).

梯度下降法与下山过程类似, 我们的目标是求出使得损失函数数值最小的最优解. 具体过程就是给定一个初始位置, 沿着梯度的反方向(也就是负的梯度)走一个步长的距离, 更新当前位置, 如此反复, 直至找到使得损失函数最小的最优解, 可以表示为:

其中, 为学习效率, 也称为步长,  等号右边的为每次更新之前的模型参数(j=0,1), 即每走负梯度个步长, 更新一次和, 而且这两者是同步更新. 具体的求解过程如下:

首先是微分的求解, 该部分需要链式法则, 公式为

由于在实际中, 往往很难直接求解z对x的微分, 但引入y这个"中介"就可以将问题转化为求z对y的微分和y对x的微分, 这就相当于分数约分的一个过程.

从计算过程中可以看出, 该算法在选择负的梯度方向时考虑到全部训练数据, 故该算法又称为批量(Batch)梯度下降法. 通过以上原理也可得知, 该算法是一个迭代求最优解的过程, 下面我们介绍一种可以直接一步到位的算法.

2. 最小二乘法

最小二乘法又称最小平方法, 即平均误差平方和最小, 也就是我们的损失函数数值最小. 引出百度百科费马引理定义:

函数f(x)在点ξ的某邻域U（ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U（ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f ‘(ξ）=0。

简单来说就是可导函数极值点处导数为0, 故分别对和求偏导, 并令其为0, 即:

由①式可得: , 故, 代入②式中, 可得:

又由于和 , 故有:

我们现在对一元线性回归介绍完了, 接下来看看多元线性回归.

 2. 多元线性回归

多元线性回归与一元线性回归的区别在于自变量的个数, 一元是一个, 多元则是多个.

 2.1 模型

假设多元线性回归中有多个自变量(x₀, x₁, x₂,...x_n), 那么多元线性回归模型的假设函数可以写成:

为了简化, 我们可以将假设函数写成矩阵的形式:

其中, x₀=1

对应的其损失函数表示为(m表示样本量):

下面便是介绍求解最小损失函数的算法.

2.2 算法

同样介绍两种算法: 梯度下降法和最小二乘法.

1. 梯度下降法 

与一元的方法类似, 不过这里需要注意的是对n个自变量进行同步更新.即:

2. 最小二乘法

我们可以将损失函数转换为矩阵的形式:

同样地, 令对的偏导为0, 对于矩阵的运算需要用到以下公式: 

然后套用公式:

通过以上我们对一元和多元回归的模型以及算法均有所了解, 下面我们来看看这两大算法的优缺点.

3. 两大算法优缺点

3.1. 梯度下降法

优点

1. 在特征变量很多时, 能够很有效的运行

缺点

1. 容易依赖于步长和起始位置的选择, 因此需要多次尝试寻找合适的步长和起始位置.

2. 由于在每次更新当前位置需要计算全部训练数据, 因此其迭代速度过慢.

3.2 最小二乘法

优点

1. 直接应用公式计算即可, 学习效率高

缺点

1. 训练数据拟合的函数非线性的话, 则不能使用最小二乘法.

2. 需要计算的逆矩阵, 如果逆矩阵不存在, 则没法应用最小二乘法.

3. 当的样本特征n很大时, 计算的逆矩阵将会非常耗时, 或者说没法计算.

4. 算法优化问题

4.1 梯度下降法

上面我们介绍的梯度下降法是指批量梯度下降法, 即:

在批量梯度下降法中, 每次计算过程都考虑全部数据, 容易找到全局最优, 但数据量较大时将会非常耗费时间, 因此诞生了随机梯度下降法

随机梯度下降法则是每次随机抽取一个样本进行计算, 可以大大提高学习效率, 但由于其具有随机性且仅有一个样本, 因此往往会导致不是最优解, 鉴于此, 产生了第三种方法: 小批量梯度下降法

这是综合前两种方法产生的, 选取其中a个样本进行求解.

4.2 最小二乘法

若拟合函数非线性, 常常通过对数转换等方法将其转换为线性, 而且特征数量较少时直接运用公式进行计算即可.

4.3 小结

当训练数据特征数量较少时, 且拟合函数为线性, 则可以直接采用最小二乘法, 如果拟合函数非线性, 可以先对其进行对数转换再运用最小二乘法; 

当训练数据特征数量较多时, 由于其对拟合函数无要求, 若数据量不大, 则可选用批量梯度下降, 若数据量很大, 则可以选用小批量梯度下降.

机器学习--线性回归模型原理

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