标签:lock 基本 合并 str 情况 ... 形式 内容 有关
Lucas和Exlucas可以求模p意义下大数的组合数。
先考虑p为质数的情况,那么直接上Lucas定理即可。
Lucas 定理基本内容:
\[
C_n^m=C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p}\ (mod\ p)\ p是质数
\]
对于Lucas的实现直接递归处理即可,注意特判n<m的情况。
如果p不为质数,那么用Exlucas求解。
实际上,Exlucas和Lucas定理没有关系……
由于p不为质数,所以可以考虑把p质因数分解:
\[
p=p_1^{c_1}*p_2^{c_2}...p_t^{c_t}
\]
那么可以问题可以转化成求解下列每一个式子的值,然后用CRT合并答案即可:
\[ C_n^m\ mod\ p_1^{c_1}\C_n^m\ mod\ p_2^{c_2}\...\C_n^m\ mod\ p_t^{c_t}\\]
继续转化,把组合数写成阶乘形式,相当于要求:
\[ \frac{n!}{m!·(n-m)!}\ mod\ p^k \]
发现直接做不好做,逆元问题都不好解决,考虑把左边每一项中的因子p给提出来:
\[ \frac{\frac{n!}{p^{a_1}}}{\frac{m!}{p^{a_2}}*\frac{(n-m)!}{p^{a3}}}*p^{a^1-a^2-a^3}\ mod\ p^k \]
这样逆元就可以直接用Exgcd球了。
那么现在重点解决的问题又变成了:
\[ n!\ mod\ p^k\ \ \ \ \ \ 其中n还要除去所有的因子p \]
举个例子:n=22,p=3,k=2
把其中所有p(也就是3)的倍数提取出来,得到:
\[ 22!=3^7×(1×2×3×4×5×6×7)×(1×2×4×5×7×8)×(10×11×13×14×16×17)×(19×20×22) \]
可以发现:
\[ (1×2×4×5×7×8)\equiv(10×11×13×14×16×17)\ (mod\ 3) \]
所以对于这种一段一段的可以直接处理,最后求一下它(n/p^k)次方即可。
对于3的次方不需要考虑,因为在外面会乘上来。
那么为什么不把3,6彻底分解呢?
这是为了递归的方便,可以发现存在一项7!,也就是(n/p)!,可以递归处理。
所以在一层层递归中,每次每个含有因数p的数提且仅提出一个p,那么可以实现递归,且最后可以把所有p都提出!
然后就可以开心的求出组合数了O(∩_∩)O!
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