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数论集合

时间:2019-08-16 22:58:33      阅读:95      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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零,前言:
学chty_sqy开个数论集合

学OI的时候以看数论就头大,现在该还了 T_T

建议推导和证明不熟或不会的同学动手推导

而且公式看上去不太清楚,学习的同学请仔细阅读

以前数论怎么都学不会,主要还是浮躁,不仔细看,没有动手 orz

 

一,gcd(欧几里得算法):

1.定义:gcd的意思是最大公约数,通常用扩展欧几里得算法求

原理:gcd(a, b)=gcd(b, a%b)

2.证明:

令d=gcd(a, b)  =>  a=m*d,b=n*d

则m*d=t*n*d+a%b  =>  a%b=d*(m-t*n)

gcd(b, a%b)=gcd(n*d, (m-t*n)*d)

令gcd(n, m-t*n)=e  =>  n=x*e,m-t*n=y*e

则m-x*e*n=y*e  =>  m=e*(x*n+y)

由gcd(n, m)=1知gcd(e*(x*n+y), e*x)=1

故e=1

故gcd(n*d, (m-t*n)*d)=d即gcd(b, a%b)=gcd(a, b)

3.边界:

当b=0时return a

可以视为gcd(a, 0)=a,任何数都能整除0

也可以视为gcd(a, b)=b,这里的a和b是上一层的,满足a%b=0

4.特殊情况:
当a<b时,a%b=a,所以在下一层gcd(b, a%b)中相当于把a与b交换

5.代码:

技术图片
1 int gcd(int a,int b){  return b ? gcd(b,a%b) : a;}
一行gcd

 

二,exgcd(扩展欧几里得算法):

数论守门员

1.丢番图方程:

有一个或者几个变量的整系数方程,它们的求解仅仅在整数范围内进行。

扩展欧几里得算法研究的是形如 a*x+b*y=c 的丢番图方程的解

2.裴蜀定理:

对于正整数a和b,令gcd(a, b)=d,则对于任意整数x和y,都有d|(a*x+b*y)

证明:

令a=n*d,b=m*d,则a*x+b*y=d*n*x+d*m*y

显然d|(d*n*x+d*m*y)

3.引理:

丢番图方程 a*x+b*y=c 有解当且仅当d|c

证明:

①必要性:

由裴蜀定理,不存在整数x和y,使得d不整除(a*x+b*y)

②充分性:

要证a*x+b*y=c有解,只需a*x+b*y=d有解

令对于任意整数x和y,a*x+b*y能得到的最小正值为s

由裴蜀定理,d|s,则d<=s

令q=⌊a/s⌋,p=a%s

则p=a-q*(a*x+b*y)=a*(1-q*x)-q*b*y=a*(1-q*x)+b*(-q*y)

由p=a%s知0<=p<s

又s为a*x+b*y能得到的最小正值

故p=0,即s|a

同理,s|b,即s|d,故s<=d

综上,s=d

即对于任意整数x和y,a*x+b*y能得到的最小正值为d

故存在整数x和y,使a*x+b*y=d

即存在整数x和y,使a*x+b*y=c

 4.扩展欧几里得算法:

通常将求解a*x+b*y=c转化为求解a*x+b*y=gcd(a, b),得解后乘上c/gcd(a, b)即可


a*x1+b*y1=gcd(a, b)

b*x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b)

由gcd(a,b)=gcd(b,a%b)知

a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2

=b*x2+(a-b*⌊a/b⌋)*y2=a*y2+b*(x2-⌊a/b⌋*y2)

故x1=y2,y1=(x2-⌊a/b⌋*y2)

如此递归直至边界情况

5.边界:

当b=0时,gcd(a, b)=a(任何数都能整除0)

a*x+b*y=a*x=gcd(a, b)*x

若使a*x+b*y=gcd(a, b),只需x=1,y可以为任何值,通常设为0,减少溢出的风险

y的多值对应方程的多解

6.通解:

对于对于第一个解x0和y0,其他解可以表示为x0+(b/d)*k和y0-(a/d)*k

推导:

令a*(x+m)+b*(x-n)=d

=>  a*m=b*n  => m/n=b/a

因gcd(a, b)=d,m和n均为整数

故m和n的最小值分别为b/d和a/d

若要求其中一个解为正整数,可在得到负解后用通解转化为正数

7.代码:

技术图片
1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
2     if(!b){
3         x=1,y=0;
4         return ;
5     }
6     exgcd(b,a%b,x,y);
7     int z=x;
8     x=y,y=(z-a/b*y);
9 }
View Code

8.易错点:

算法中存在乘法,有溢出的风险,应见机开long long

 

数论集合

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原文地址:https://www.cnblogs.com/cdcq/p/11366100.html

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