uoj21 【UR #1】缩进优化

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题目

题意简介明了，需要找到一个\(T\)，最小化

\[\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor+\sum_{i=1}^na_i\%T\]

非常显然的\(a_i\%T=a_i-\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor\times T\)

于是

\[\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor+\sum_{i=1}^na_i-T\times \sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor\]

即为

\[\sum_{i=1}^na_i-(T-1)\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor\]

最小化这个柿子只需要最大化\((T-1)\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor\)

考虑一次枚举\(T\)，需要快速求出\(\sum_{i=1}^n\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor\)

注意到\(\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor\)只会有\(\left \lfloor \frac{\max a_i}{T} \right \rfloor\)种值，即对于\(a_i\in[0,T-1],\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor=0...a_i\in [kT-T,kT-1],\left \lfloor \frac{a_i}{T} \right \rfloor=k\)

我们直接暴力这\(\left \lfloor \frac{\max a_i}{T} \right \rfloor\)段区间，前缀和算一下这段区间里有多少个\(a_i\)即可

复杂度显然调和级数，视\(n\)与\(\max a_i\)同级，复杂度为\(O(n\log n)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define LL long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
const int maxn=1e6+5;
inline int read() {
    char c=getchar();int x=0;while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();return x;
}
int n,pre[maxn],T;LL ans,tmp;
inline int calc(int l,int r) {
    return (r>T?pre[T]:pre[r])-(l?pre[l-1]:0);
}
int main() {
    n=read();
    for(re int x,i=1;i<=n;i++) x=read(),ans+=x,T=max(T,x),pre[x]++;
    for(re int i=1;i<=T;i++) pre[i]+=pre[i-1];
    for(re int i=2;i<=T;++i) {
        LL now=0;
        for(re int cnt=0,l=0,j=i-1;l<=T;j+=i,l+=i,++cnt)
            now+=1ll*calc(l,j)*cnt;
        if(1ll*now*(i-1)>tmp) tmp=1ll*now*(i-1);
    }
    printf("%lld\n",ans-tmp);
    return 0;
}

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