数学 - 梯度 可导 可微

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1. 可微定义
   1. 设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。
   2. 函数f是连续可微（continuously differentiable），如果导数f‘(x)存在且是连续函数。
   3. Refer 1
   4. 连续可微函数被称作classC。一个函数称作classC如果函数的一阶、二阶导数存在且连续。更一般的，一个函数称作classC如果前k阶导数f′(x),f″(x), ...,f(x) 都存在且连续。如果对于所有正整数n，f存在，这个函数被称为光滑函数或称classC。
2. 可导定义
   1. 即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数
3. 可导或微区别
   1. 一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关
      1. 在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；
   2. 多元函数可微必可导，而反之不成立。
      1. 在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。
4. 偏导定义：Partial derivative
   1. 在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x₀,y₀) 点处沿不同方向的变化率
   2. 偏导数的表示符号为:∂。偏导反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率
   3. x方向的偏导
      设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x₀,y₀)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y₀而让 x 在 x₀ 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x₀+△x,y₀)-f(x₀,y₀)。
      如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x₀,y₀)处对 x 的偏导数，记作 f‘_x(x₀,y₀)或函数 z=f(x,y) 在(x₀,y₀)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y₀看成常数后，一元函数z=f(x,y₀)在 x₀处的导数
   4. 偏导数求法
      当函数 z=f(x,y) 在 (x₀,y₀)的两个偏导数 f‘_x(x₀,y₀) 与 f‘_y(x₀,y₀)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x₀,y₀)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
      此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。
      按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
   5. 偏导数几何意义
      表示固定面上一点的切线斜率。
      偏导数 f‘_x(x₀,y₀) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f‘_y(x₀,y₀) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
   6. 高阶偏导数：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f‘_x(x,y) 与 f‘_y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"_xx，f"_xy，f"_yx，f"_yy。
      注意：
      f"_xy与f"_yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

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