数字三角形，从递归到动态规划

给定一个由 n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法，计算出从三角形 的顶至底的一条路径(每一步可沿左斜线向下或右斜线向下)，使该路径经过的数字总和最大。

输入格式:

输入有n+1行：

第 1 行是数字三角形的行数 n，1<=n<=100。

接下来 n行是数字三角形各行中的数字。所有数字在0..99 之间。

输出格式:

输出最大路径的值。

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5 
7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5 

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：30

二.问题描述
　　输入数字三角形，从三角形顶点开始，每次只能在左右两边选择路径，每经过一个点取得该点数值，设计算法，求出和的最大的值。
三.算法描述
　　使用自底向上递推的方式，在每一行比较改行所有子问题的最优解，继续往上计算，知道顶点，则比较出的则为最优解。

#include <iostream>
#define Max 101
using namespace std;
 
int n;
int a[Max][Max];  //用来存储数字三角形的二维数组 
int MaxSum[Max][Max];//用来存储第i行第j列到底边的最大值 

int main(){
    //输入数字三角形 
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j= 1;j<=i;++j)
            cin >> a[i][j];
            
    for(int i=1;i<=n;++i)
        MaxSum[n][i] = a[n][i];
        
    for(int i=n-1;i>=1;--i)   //自底向上计算 
        for(int j = 1;j<=n;++j)
            MaxSum[i][j] = (MaxSum[i+1][j] > MaxSum[i+1][j+1] ? MaxSum[i+1][j] : MaxSum[i+1][j+1]) + a[i][j];
            
    cout << MaxSum[1][1];
    return 0;
} 

四.算法时间及空间复杂度分析
　　若采用递归算法，则时间复杂度为0（2^n),使用递归加备忘录的方法，虽减少了对重复子问题的计算，但进栈出栈的时间、避免了栈溢出等问题仍没有解决，动态规划算法使用双重循环自底向上计算最优解，所以时间复杂度为O（n^2），
但新增二维数组保存每个子问题的解，空间复杂度为0（n^2)。

五.心得体会

1.与递归方法比，动态规划算法时间复杂度较低，且没有栈溢出的风险，备忘录方法虽解决了子问题重复计算的问题，但仍然有栈溢出风险。
2.递归方法、递归备忘录方法都是自顶向下的算法，而动态规划算法是自顶向下的迭代算法，子问题只计算一次。
3.动态规划算法是用空间代价换取时间代价的算法。