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【模板】高精算法

时间:2019-11-06 18:44:15      阅读:89      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:length   利用   乘法   存储   赋值   u3d   space   rcp   正整数   

利用计算机进行数值计算,有时会遇到这样的问题:有些计算要求精度高,希望计算的数的位数可达几十位甚至几百位,虽然计算机的计算精度也算较高了,但因受到硬件的限制,往往达不到实际问题所要求的精度。我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算。介绍常用的几种高精度计算的方法。

 高精度计算中需要处理好以下几个问题:

1)数据的接收方法和存贮方法

数据的接收和存贮:当输入的数很长时,可采用字符串方式输入,这样可输入数字很长的数,利用字符串函数和操作运算,将每一位数取出,存入数组中。另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据。

    void init(int a[])                            //传入一个数组
    {
        string s; 
           cin>>s;                                  //读入字符串s     
           len=s.length();                     //用len计算字符串s的位数 
        for(i=1;i<=len;i++)
           a[i]=s[len-i] -‘0‘;               //将数串s转换为数组a,并倒序存储 
    }//另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据。

(2) 高精度数位数的确定

位数的确定:接收时往往是用字符串的,所以它的位数就等于字符串的长度。

 

 (3) 进位,借位处理

加法进位:

c[i]=a[i]+b[i];
if(c[i]>=10) c[i]%=10,++c[i+1];

减法借位:

if(a[i]<b[i]) --a[i+1],a[i]+=10;
 c[i]=a[i]-b[i];

乘法进位:

c[i+j-1]= a[i]*b[j] + x + c[i+j-1];
x=c[i+j-1]/10,c[i+j-1] %= 10;

 (4) 商和余数的求法

商和余数处理:视被除数和除数的位数情况进行处理.

【例1】高精度加法。输入两个正整数,求它们的和。

【分析】

 输入两个数到两个变量中,然后用赋值语句求它们的和,输出。但是,我们知道,在C++语言中任何数据类型都有一定的表示范围。而当两个被加数很大时,上述算法显然不能求出精确解,因此我们需要寻求另外一种方法。在读小学时,我们做加法都采用竖式方法,如图1。 这样,我们方便写出两个整数相加的算法。

技术图片

   如果我们用数组A、B分别存储加数和被加数,用数组C存储结果。则上例有A[1]=6,A[2]=5, A[3]=8,B[1]=5,B[2]=5,B[3]=2,C[4]=1,C[3]=1,C[2]=1,C[1]=1,两数相加如图2所示。

//因此,算法描述如下:
int c[100];
void add(int a[],int b[])                 //a,b,c都为数组,分别存储被加数、加数、结果
{
    int  i=1,x=0;                             //x是进位
    while ((i<=a数组长度)||(i<=b数组的长度)){
    c[i]=a[i]+b[i]+x;        //第i位相加并加上次的进位
    x=c[i]/10;                 //向高位进位
    c[i]%=10;                      //存储第i位的值
    i++;                               //位置下标变量
   }
}

参考代码

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N=1000000+5;
 4 long long a[N],b[N],c[N],base=10;
 5 char tmp[N];
 6 int main()
 7 {
 8     cin>>tmp;
 9     int n=strlen(tmp); 
10     for(int i=0;i<n;i++)
11         a[i]=tmp[n-i-1]-0; 
12     cin>>tmp;
13     int m=strlen(tmp);
14     for(int i=0;i<m;i++)
15         b[i]=tmp[m-i-1]-0;
16     memset(c,0,sizeof(c));
17     int up=max(n,m);
18     for(int i=0;i<up;i++)
19     {
20         c[i]+=a[i]+b[i]; 
21         c[i+1]+=c[i]/base;
22         c[i]=c[i]%base;
23     }
24     if(c[up]) up++;
25     for(int i=up-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);
26     puts("");
27     return 0;
28 }

【例2】高精度减法。输入两个正整数,求它们的差。

 【算法分析】

类似加法,可以用竖式求减法。在做减法运算时,需要注意的是:被减数必须比减数大,同时需要处理借位。高精度减法的参考程序:

大数减小数做法:

 1 //大数减小数
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 using namespace std;
 4 const int N=100000+5;
 5 int a[N],b[N],c[N],base=10;
 6 char tmp[N];
 7 int main()
 8 {
 9     cin>>tmp;
10     int n=strlen(tmp); 
11     for(int i=0;i<n;i++)
12         a[i]=tmp[n-i-1]-0; 
13     cin>>tmp;
14     int m=strlen(tmp);
15     for(int i=0;i<m;i++)
16         b[i]=tmp[m-i-1]-0;
17     memset(c,0,sizeof(c));
18     int up=max(n,m);
19     for(int i=0;i<up;i++)
20     {
21         c[i]=a[i]-b[i];
22         if(c[i]<0) c[i+1]--,c[i]+=base;
23     }
24     while(!c[up-1]&&up>1) up--;
25     for(int i=up-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);
26     puts("");
27     return 0;
28 }

大数减大数

 1 //大数减大数
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 using namespace std;
 4 long long a[100010],b[100010],c[100010],lena,lenb,lenc,i;
 5 char n[100010],n1[100010],n2[100010];
 6 int main()
 7 {
 8     memset(a,0,sizeof(a));
 9     memset(b,0,sizeof(b));
10     memset(c,0,sizeof(c));
11     cin>>n1;
12     cin>>n2;
13     if(strlen(n1)<strlen(n2)||(strlen(n1)==strlen(n2)&&strcmp(n1,n2)<0))
14     {
15         strcpy(n,n1);
16         strcpy(n1,n2);
17         strcpy(n2,n);
18         cout<<"-";
19     }
20     lena=strlen(n1);
21     lenb=strlen(n2);
22     for(i=0;i<=lena-1;i++)
23         a[lena-i]=int(n1[i]-0);
24     for(i=0;i<=lenb-1;i++)
25         b[lenb-i]=int(n2[i]-0);
26     i=1;
27     while(i<=lena||i<=lenb)
28     {
29         if(a[i]<b[i]) a[i]+=10,a[i+1]--;
30         c[i]=a[i]-b[i];
31         i++;
32     }
33     lenc=i;
34     while((c[lenc]==0)&&(lenc>1)) lenc--;
35     for(i=lenc;i>=1;i--)
36         cout<<c[i];
37     cout<<endl;
38     return 0; 
39 }

【例3】高精度乘法。输入两个正整数,求它们的积。

【算法分析】

类似加法,可以用竖式求乘法。在做乘法运算时,同样也有进位,同时对每一位进行乘法运算时,必须进行错位相加,如图3、图4。

 

分析c数组下标的变化规律,可以写出如下关系式:ci = c’i +c”i +…由此可见,c i跟a[i]*b[j]乘积有关,跟上次的进位有关,还跟原c i的值有关,分析下标规律,有c[i+j-1]= a[i]*b[j]+ x + c[i+j-1]; x=c[i+j-1]/10 ; c[i+j-1]%=10;

参考代码

高精乘低精

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N=100000+5;
 4 int a[N],b,c[N],base=10;
 5 char tmp[N];
 6 int main()
 7 {
 8     gets(tmp);
 9     int n=strlen(tmp); 
10     for(int i=0;i<n;i++)
11         a[i]=tmp[n-i-1]-0; 
12     int b;
13     scanf("%d",&b);
14     memset(c,0,sizeof(c));
15     int up=n;
16     for(int i=0;i<up;i++)
17     {
18         c[i]+=a[i]*b;
19         c[i+1]+=c[i]/base;
20         c[i]=c[i]%base; 
21     }
22     if(c[up]) up++;
23     while(c[up]>base) c[up+1]+=c[up]%base,c[up]=c[up]%base,up++; 
24     for(int i=up-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);
25     puts("");
26     return 0;
27 }

高精乘高精

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int N=100000+5;
 4 int a[N],b[N],c[N],base=10;
 5 char tmp[N];
 6 int main()
 7 {
 8     cin>>tmp;
 9     int n=strlen(tmp); 
10     for(int i=0;i<n;i++)
11         a[i]=tmp[n-i-1]-0; 
12     cin>>tmp;
13     int m=strlen(tmp); 
14     for(int i=0;i<m;i++)
15         b[i]=tmp[m-i-1]-0; 
16     memset(c,0,sizeof(c));
17     for(int i=0;i<n;i++)
18         for(int j=0;j<m;j++)
19             c[i+j]+=a[i]*b[j];
20     int up=n+m-1;
21     for(int i=0;i<up;i++)
22     {
23         c[i+1]+=c[i]/base;
24         c[i]=c[i]%base;
25     }
26     if(c[up]) up++;
27     if(c[up-1]==0){cout<<0<<endl;return 0;}
28     for(int i=up-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);
29     puts("");
30     return 0;
31 }

 

利用计算机进行数值计算,有时会遇到这样的问题:有些计算要求精度高,希望计算的数的位数可达几十位甚至几百位,虽然计算机的计算精度也算较高了,但因受到硬件的限制,往往达不到实际问题所要求的精度。我们可以利用程序设计的方法去实现这样的高精度计算。介绍常用的几种高精度计算的方法。
 高精度计算中需要处理好以下几个问题: ### 1)数据的接收方法和存贮方法数据的接收和存贮:当输入的数很长时,可采用字符串方式输入,这样可输入数字很长的数,利用字符串函数和操作运算,将每一位数取出,存入数组中。另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据。
```cppvoid init(int a[])                            //传入一个数组{string s;    cin>>s;                                  //读入字符串s    len=s.length();                     //用len计算字符串s的位数     for(i=1;i<=len;i++)       a[i]=s[len-i] -‘0’;               //将数串s转换为数组a,并倒序存储 }//另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据。```
### (2) 高精度数位数的确定位数的确定:接收时往往是用字符串的,所以它的位数就等于字符串的长度。
### (3) 进位,借位处理加法进位:```cppc[i]=a[i]+b[i];if (c[i]>=10) c[i]%=10,++c[i+1];```
减法借位:```cppif (a[i]<b[i]) --a[i+1],a[i]+=10; c[i]=a[i]-b[i];```
乘法进位:```cppc[i+j-1]= a[i]*b[j] + x + c[i+j-1];x=c[i+j-1]/10,c[i+j-1] %= 10;```
### (4) 商和余数的求法商和余数处理:视被除数和除数的位数情况进行处理.
### 【例1】高精度加法。输入两个正整数,求它们的和。#### 【分析】 输入两个数到两个变量中,然后用赋值语句求它们的和,输出。但是,我们知道,在C++语言中任何数据类型都有一定的表示范围。而当两个被加数很大时,上述算法显然不能求出精确解,因此我们需要寻求另外一种方法。在读小学时,我们做加法都采用竖式方法,如图1。 这样,我们方便写出两个整数相加的算法。 ![加法图示](https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9pLmxvbGkubmV0LzIwMTkvMTEvMDYvbVlhaVVaUzU3d2VseWdILnBuZw?x-oss-process=image/format,png)        如果我们用数组A、B分别存储加数和被加数,用数组C存储结果。则上例有A[1]=6,A[2]=5, A[3]=8,B[1]=5,B[2]=5,B[3]=2,C[4]=1,C[3]=1,C[2]=1,C[1]=1,两数相加如图2所示。    ```cpp//因此,算法描述如下:int c[100];void add(int a[],int b[])                 //a,b,c都为数组,分别存储被加数、加数、结果{    int  i=1,x=0;                             //x是进位    while ((i<=a数组长度)||(i<=b数组的长度)) {    c[i]=a[i]+b[i]+x;    //第i位相加并加上次的进位    x=c[i]/10;             //向高位进位    c[i]%=10;                      //存储第i位的值    i++;                               //位置下标变量 }}```### 参考代码
```cpp#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=1000000+5;long long a[N],b[N],c[N],base=10;char tmp[N];int main(){cin>>tmp;int n=strlen(tmp); for(int i=0;i<n;i++)a[i]=tmp[n-i-1]-‘0‘; cin>>tmp;int m=strlen(tmp);for(int i=0;i<m;i++)b[i]=tmp[m-i-1]-‘0‘;memset(c,0,sizeof(c));int up=max(n,m);for(int i=0;i<up;i++){c[i]+=a[i]+b[i]; c[i+1]+=c[i]/base;c[i]=c[i]%base;}if(c[up]) up++;for(int i=up-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);puts("");return 0;}```
### 【例2】高精度减法。输入两个正整数,求它们的差。#### 【算法分析】类似加法,可以用竖式求减法。在做减法运算时,需要注意的是:被减数必须比减数大,同时需要处理借位。高精度减法的参考程序:
大数减小数做法:```cpp//大数减小数#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=100000+5;int a[N],b[N],c[N],base=10;char tmp[N];int main(){cin>>tmp;int n=strlen(tmp); for(int i=0;i<n;i++)a[i]=tmp[n-i-1]-‘0‘; cin>>tmp;int m=strlen(tmp);for(int i=0;i<m;i++)b[i]=tmp[m-i-1]-‘0‘;memset(c,0,sizeof(c));int up=max(n,m);for(int i=0;i<up;i++){c[i]=a[i]-b[i];if(c[i]<0) c[i+1]--,c[i]+=base;}while(!c[up-1]&&up>1) up--;for(int i=up-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);puts("");return 0;}```大数减大数
```cpp//大数减大数#include<bits/stdc++.h>using namespace std;long long a[100010],b[100010],c[100010],lena,lenb,lenc,i;char n[100010],n1[100010],n2[100010];int main(){memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));memset(c,0,sizeof(c));cin>>n1;cin>>n2;if(strlen(n1)<strlen(n2)||(strlen(n1)==strlen(n2)&&strcmp(n1,n2)<0)){strcpy(n,n1);strcpy(n1,n2);strcpy(n2,n);cout<<"-";}lena=strlen(n1);lenb=strlen(n2);for(i=0;i<=lena-1;i++)a[lena-i]=int(n1[i]-‘0‘);for(i=0;i<=lenb-1;i++)b[lenb-i]=int(n2[i]-‘0‘);i=1;while(i<=lena||i<=lenb){if(a[i]<b[i]) a[i]+=10,a[i+1]--;c[i]=a[i]-b[i];i++;}lenc=i;while((c[lenc]==0)&&(lenc>1)) lenc--;for(i=lenc;i>=1;i--)cout<<c[i];cout<<endl;return 0; }```### 【例3】高精度乘法。输入两个正整数,求它们的积。#### 【算法分析】类似加法,可以用竖式求乘法。在做乘法运算时,同样也有进位,同时对每一位进行乘法运算时,必须进行错位相加,如图3、图4。
分析c数组下标的变化规律,可以写出如下关系式:ci = c’i +c”i +…由此可见,c i跟a[i]*b[j]乘积有关,跟上次的进位有关,还跟原c i的值有关,分析下标规律,有c[i+j-1]= a[i]*b[j]+ x + c[i+j-1]; x=c[i+j-1]/10 ; c[i+j-1]%=10;
### 参考代码高精乘低精```cpp#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=100000+5;int a[N],b,c[N],base=10;char tmp[N];int main(){gets(tmp);int n=strlen(tmp); for(int i=0;i<n;i++)a[i]=tmp[n-i-1]-‘0‘; int b;scanf("%d",&b);memset(c,0,sizeof(c));int up=n;for(int i=0;i<up;i++){c[i]+=a[i]*b;c[i+1]+=c[i]/base;c[i]=c[i]%base; }if(c[up]) up++;while(c[up]>base) c[up+1]+=c[up]%base,c[up]=c[up]%base,up++; for(int i=up-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);puts("");return 0;}```高精乘高精
```cpp#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=100000+5;int a[N],b[N],c[N],base=10;char tmp[N];int main(){cin>>tmp;int n=strlen(tmp); for(int i=0;i<n;i++)a[i]=tmp[n-i-1]-‘0‘; cin>>tmp;int m=strlen(tmp); for(int i=0;i<m;i++)b[i]=tmp[m-i-1]-‘0‘; memset(c,0,sizeof(c));for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<m;j++)c[i+j]+=a[i]*b[j];int up=n+m-1;for(int i=0;i<up;i++){c[i+1]+=c[i]/base;c[i]=c[i]%base;}if(c[up]) up++;if(c[up-1]==0){cout<<0<<endl;return 0;}for(int i=up-1;i>=0;i--) printf("%d",c[i]);puts("");return 0;}
```

 

【模板】高精算法

标签:length   利用   乘法   存储   赋值   u3d   space   rcp   正整数   

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