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【CF981F】Round Marriage(二分答案,hall定理)

时间:2019-11-06 23:08:55      阅读:109      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:lin   子集   地方   cout   false   需要   ret   ref   href   

传送门

题意:
给出一个长度为\(L\)的环,标号从\(0\)\(L-1\)
之后给出\(n\)个新郎,\(n\)个新娘离起点的距离。
现在新郎、新娘要一一配对,但显然每一对新人的产生都会走一定的距离\(d_i\),求所有\(d_i\)中最大值最小是多少。

思路:

  • 显然最后的答案具有单调性,故可以二分答案之后来判定。
  • 二分最大时间\(x\),那么只添加距离不超过\(x\)的边,做个最大匹配即可。
  • 但因为\(n\)达到\(2e5\),显然匈牙利算法不可行。
  • 考虑\(hall\)定理:若一个二分图存在完美匹配,那么对于左边任意子集\(S\),其对应边连接了一个点集\(T\),那么有\(|S|\leq |T|\)
  • \(hall\)定理考虑的是集合,不好处理。这个题的二分图有一个特殊的地方,就是对于左边的一个点\(i\),连接的一定是一段连续的区间\([l_i,r_i]\)
  • 根据\(hall\)定理,我们要判断不可行的话就需要找到一个点集\(S\),最终\(|S|>|T|\)。考虑极小的一个子集\(|S|\)满足上述条件,也就是此时去掉任何一个点都不满足条件了,此时这个点集一定是连续的一些点,因为二分图的特殊性。
  • 所以问题由点集转化为了:在二分图中,若有\(r-l>R_r-L_l\),则不满足条件,移下项就有:\(r-R_r>l-L_l\),然后随便维护一下即可。

感觉\(hall\)定理在某些情况下挺好用的?尤其是二分图比较特殊的情况,用来求最大匹配/判断最大匹配挺优秀的,通常都把问题转换成维护信息的问题。

代码实现将环变成链时有点细节,详见代码:

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/11/5 19:43:44
 */
#include <bits/stdc++.h>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << '\n'; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
void pt() {std::cout << '\n'; }
template<typename T, typename...Args>
void pt(T a, Args...args) {std::cout << a << ' '; pt(args...); }
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 2e5 + 5;
int n, L;
ll a[N << 2], b[N << 2];
 
bool chk(int x) {
    int p1 = 1, p2 = 1;
    int mn = INF;
    for(int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
        while(p1 <= 4 * n && b[p1] < a[i] - x) ++p1;   
        while(p2 <= 4 * n && b[p2] <= a[i] + x) ++p2;
        mn = min(mn, i - p1);
        int now = i - p2 + 1;
        if(mn < now) return false;
    }
    return true;
}
 
void run(){
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
    sort(a + 1, a + n + 1); sort(b + 1, b + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] += L, a[i + n] = a[i] + L;
    for(int i = 1; i <= 3 * n; i++) b[i + n] = b[i] + L;
    int l = 0, r = INF, mid;
    while(l < r) {
        mid = (l + r) >> 1;
        if(chk(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << l << '\n';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    while(cin >> n >> L) run();
    return 0;
}

【CF981F】Round Marriage(二分答案,hall定理)

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原文地址:https://www.cnblogs.com/heyuhhh/p/11809130.html

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