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卡特兰数

时间:2019-12-07 01:19:15      阅读:96      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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卡特兰数,一个常常出现在排列组合公式中的数列。

第n个卡特兰数Cn满足以下递推关系
 
技术图片
 
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其实际应用的实际问题有:
1.  在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?(Cn
2. 将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?
3. 一个栈的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?
4. 矩阵连乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?
5. 给定N个节点,能构成多少种不同的二叉搜索树?
6.有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
7.一位大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
 
 
 
结论区:
 
令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足以下表达式:

1.   f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + f(2)*f(n-3)......+f(n-1)*f(0)。

2.   f(n) = f(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。

3.   f(n) = C(2n,n)/(n+1)。

4.   f(n) = C(2n,n) - C(2n,n-1)。

 
 
证明区:
(以进出栈为例)

对于每一个数来说,必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’,出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b),因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数,1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求(由左而右扫描,0的累计数大于1的累计数)的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时,必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数,此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换,使之成为n-m个0和n-m-1个1,结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

反过来,任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数,由于0的个数多2个,2n为偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数,即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应。

显然,不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。

 

代码区:

取模版本的:

 1 const int C_maxn = 1e4 + 10;
 2 LL CatalanNum[C_maxn];
 3 LL inv[C_maxn];
 4 inline void Catalan_Mod(int N, LL mod)
 5 {
 6     inv[1] = 1;
 7     for(int i=2; i<=N+1; i++)///线性预处理 1 ~ N 关于 mod 的逆元
 8         inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
 9  
10     CatalanNum[0] = CatalanNum[1] = 1;
11  
12     for(int i=2; i<=N; i++)
13         CatalanNum[i] = CatalanNum[i-1] * (4 * i - 2) %mod * inv[i+1] %mod;
14 }

不取模版本的:

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #define MAXN 40
 4 long long Catalan[MAXN];
 5 long long CatalanCalc2()
 6 {
 7     Catalan[0]=1;
 8     Catalan[1]=1;
 9     for(long long i = 2; i < MAXN; i++)
10     {
11         Catalan[i] = Catalan[i-1] * (4 * i - 2) / (i + 1);
12     }
13 }
14  
15 int main()
16 {
17     int n;
18     CatalanCalc2();
19     while (scanf("%d",&n)!=EOF&&printf("%lld\n",Catalan[n]));
20     return 0;
21 }

 

卡特兰数

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原文地址:https://www.cnblogs.com/St-Lovaer/p/11994479.html

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