标签：意义 表示 导数 mamicode 遇到 条件 定义函数 它的 分割
在一些数学公式的推导中，常会遇到 \(d\) / \(\partial\) / \(\delta\) ?\(\Delta\) 等符号。它们背后分别代表的数学含义？
设变量 \(u\) 从它的一个初值 \(u_1\) 变到终值 \(u_2\)，终值与初值的差 \(u_2 - u_1\) 就叫做变量 \(u\) 的增量，记作 \(\Delta u\)，即
\[\Delta u = u_2 - u_1\]
增量 \(\Delta u\) 可以是正的，也可以是负的。
应该注意到：记号 \(\Delta u\) 并不表示某个量 \(\Delta\) 与变量 \(u\) 的乘积，而是一个整体不可分割的记号。
举例：
现在假定函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一个邻域内是有定义的。当自变量 \(x\) 在这个邻域内从 \(x_0\) 变到 \(x_0 + \Delta x\) 时，函数值（或因变量） \(f(x)\) 相应地从 \(f(x_0)\) 变到 \(f(x_0 + \Delta x)\)，因此，函数值（或因变量） \(f(x)\) 的对应增量为
\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\]
习惯上也称 \(\Delta y\) 为函数的增量。
由此，可以定义函数的连续性，如下：
设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0)\) 的某一个邻域内有定义，如果
\[\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [ f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) ] = 0 \quad ，\]
那么就称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 连续。
导数的定义： 设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\) （点 \(x_0 + \Delta x\) 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\)；如果 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 之比当 \(\Delta x \to 0\) 时的极限存在，那么称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，并称这个极限为函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数，记为 \(f'(x)\) ，即
\[f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \quad ,\]
也可记作 \(y'|_{x = x_0}\)，$\(\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}\) 或 \(\frac{df(x)}{dx}|_{x=x_0}\)。
可以看出，导数等于 增量 \(\Delta y\) 和增量 \(\Delta x\) 比值的极限。
微分的定义： 设函数 \(y=f(x)\) 在某区间内有定义，\(x_0\) 及 \(x_0 + \Delta x\) 在这个区间内，如果函数的增量
\[\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\]
可表示为
\[\Delta y = A \Delta x + \it{o}(\Delta x)\]
其中，\(A\) 是不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，那么，称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_0\) 是可微的，而 \(A\Delta x\) 叫做函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的微分，即
\[dy = A \Delta x\]
注： 函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可微的充要条件是函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导。
微分的意思是指，因变量的增量 \(\Delta y\)，是自变量的增量 \(\Delta x\) 的线性函数，且记作 \(dy\)。所以说，应该有如下关系：
增量 \(\Delta y\) 是实实在在、真实的变化值。只是，只有当可导的时候，才能写成 \(\Delta y = A \Delta x + \it{o}(\Delta x) = dy + \it{o}(\Delta x) = dy + \it{o}(dy)\) 。也就是说，微分，只是增量 \(\Delta y\) 的一个近似值。
另外一点，在定义导数的时候，也是用增量 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 的比值来定义的，并不是用微分。只是，导数的值，刚好等于微分 \(dy\) 与 \(dx\) 的比值。
注二： 通常把自变量 \(x\) 的增量 \(\Delta x\) 称为自变量的微分，记作 \(dx\)，即 \(dx = \Delta x\)。于是，函数 \(y = f(x)\) 的微分又可记作为
\[dy = f'(x) dx\]
从而有
\[\frac{dy}{dx} = f'(x)\]
这就是说，函数的微分 \(dy\) 与自变量的微分 \(dx\) 之商等于该函数的导数，因此，导数也叫作“微商”。
微分的几何意义
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wghou09/p/12002660.html
