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复数基础知识

时间:2019-12-21 09:48:09      阅读:179      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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复数基础知识

0:前言

  • 我们以前都学过,如果一个数要开平方的话,一定要保证被开平方的数是一个正数,但是为了扩充数域,引入复数概念。
  • 规定\(\sqrt{-1}=i^2\)

1:复数的概念

  • 形如\(z=x+iy\)的数就是一个复数,其中\(x\)\(y\)是任意的实数,分别称为复数\(z\)的实部和虚部。
  • 一般来说,复数不能比大小,但是可以说两个复数相等。

2:复数的代数运算

  • 加减就对应实部虚部相加就行了。
  • 乘法和除法需要稍加注意。
  • 乘法:
    • \(z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i\)
  • 除法:
    • \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2+y_2i)(x_2-y_2i)}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{x_2^2+y_2^2}\).
    • 之后对上面做乘法就行,也就是说复数的除法要将分母实化。
  • 同样复数满足交换律、结合律、分配律。

3:复数的几何表示

  • 任意一个复数\(z=x+y_i\)都有一个与之对应的二维平面点对\((x,y)\)
  • 如图所示:

  • 技术图片

  • 其中
    • \(|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\),表示这个向量的长度
    • \(\theta=arctan\frac{y}{x}\)表示向量所对应的幅角。
      • 特殊的,当\(z=0\)时,幅角不确定。
    • 也可以知道\(x=rcos\theta,y=rsin\theta\)
  • 接着我们可以得到复数的另一种表示:
    • \(z=x+yi=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta}\)
    • \(z=re^{i\theta}\).
    • 其中\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)就是大名鼎鼎的欧拉\((Euler)\)公式。(\(e\)是自然对数)
  • 值得注意的一点!!
    • 我们说\(\theta\)表示复数\(z\)的幅角,但其实幅角的表示可以不唯一。
    • 比如说我从\(\theta\)的位置正好逆时针旋转一圈后变成\(\theta+2\pi\),他还是在那个位置,但是他不等于\(\theta\)
    • 所以说幅角可以表示为\(\theta+2k\pi\),其中\(k\)取任意整数。
    • 既然有很多个幅角,我们可以定义一个幅角主值,也就是我们最开始的那个\(\theta\),不去加\(2k\pi\)
    • 但是比如说\(\frac{\pi}{2}\)(逆时针扫),他同样可以用\(-\frac{3\pi}{2}\)(顺时针扫)来表示。
    • 我们规定在\(x\)轴上方的用逆时针扫的角度,\(x\)轴下方用顺时针扫的角度。
    • 仔细理解这点,后面对复数开根号需要用到。

4:复数的幂与方根

1:复数的积与商
  • 设有两个复数\(z_1=r_1e^{i\theta_1},z_2=r_2e^{i\theta_2}\)
  • \(z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)
  • \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}*e^{i(\theta_1-\theta_2)}\)
  • 所以可以得到以下两个定理:
    • 两个复数乘积的模等于他们模的乘积;两个复数乘积的幅角等于他们幅角的和。
    • 两个复数商的模等于他们模的商;两个复数商的幅角等于他们幅角的差。

2:复数的幂与方根

  • 首先引入一个公式:
    • \((cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta\).
    • 这就是棣莫弗\((De\ Moivre)\)公式。
  • \(z^n\)就是\(n\)\(z\)乘起来。
  • \(z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)\)
方根(重点)
  • 要求复数\(z\)\(n\)次方根,实际上就是求解方程\(w^n=z\),问\(w\)
  • \(z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\phi}\).
  • 从而得到方程
    • \(\rho ^n=r\).
    • \(n\phi=\theta+2k\pi\).
  • 解得:
    • \(\rho=\sqrt[n]{r}\).
    • \(\phi=\frac{\theta+2k\pi}{n}\).
  • 所以\(w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{2k\pi}{n}+\theta)}\).
  • \(k=0,1,2,...,n-1\)时,可以得到\(n\)个相异的根。
  • \(w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},w_1=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi}{n}},w_2=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+4\pi}{n}},...,w_{n-1}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}}\).
  • 为什么只有\(n\)个呢?因为\(k\)取别的整数的话,所得到的根就和上述的\(n\)个根重复了。
  • 由复数的几何意义可知,最后这\(n\)个根就表示他们以原点为圆心,以\(\sqrt[n]{r}\)为半径在一个圆上均匀分布着。
  • 就像这样:
  • 这里表示有四个根,技术图片

蓝线的四个头。

  • 来做个例题收尾吧
  • \(\sqrt[4]{1+i}\).
  • \(\because1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\).
  • \(\therefore \sqrt[4]{1+i}=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}},k=0,1,2,3\).
  • \(w_0=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi}{16}},w_1=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{9\pi}{16}},w_2=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{17\pi}{16}},w_3=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{25\pi}{16}}\).
  • 这四个根表示以原点为圆心,以\(\sqrt[8]{2}\)为半径的圆内接正方形的四个顶点。

复数基础知识

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原文地址:https://www.cnblogs.com/zxytxdy/p/12075656.html

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