Backpack III

Example 1:

Input: A = [2, 3, 5, 7], V = [1, 5, 2, 4], m = 10
Output: 15
Explanation: Put three item 1 (A[1] = 3, V[1] = 5) into backpack.

Example 2:

Input: A = [1, 2, 3], V = [1, 2, 3], m = 5
Output: 5
Explanation: Strategy is not unique. For example, put five item 0 (A[0] = 1, V[0] = 1) into backpack.
思路：

类似于最基本的01背包, 我们设定 f[i][j] 表示前 i 种物品装到容量为 j 的背包里, 能获取的最大价值为多少.

比较简单的转移是直接枚举第i种物品取用多少个: f[i][j] = max{f[i - 1][j - x * A[i]] + x * V[i]}

但是这样速度较慢, 可以优化成 f[i][j] 直接由 f[i][j - A[i]] 转移, 并且从小到大枚举 j, 这样做的含义就是在已经拿过第 i 个物品的之后还可以再拿它. 也就是说: 计算 f[i][j] 时, 初始设置为 f[i - 1][j], 然后 f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - A[i]] + V[i])

另外, 可以使用滚动数组优化, 使用滚动数组之后也不必要手动设置 f[i][j] = f[i - 1][j], 与01背包使用的滚动数组相反, 这里恰好需要正着枚举容量 j, 因而有 f[j] = max(f[j], f[j - A[i]] + V[i])

public class Solution {
    /**
     * @param A: an integer array
     * @param V: an integer array
     * @param m: An integer
     * @return: an array
     */
   public int backPackIII(int[] A, int[] V, int m) {
        // Write your code here
        int n = A.length;
        int[] f = new int[m + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = A[i]; j <= m; ++j)
                if (f[j - A[i]] + V[i] > f[j])
                    f[j] = f[j - A[i]] + V[i];
        return f[m];
    }
}