poj 3270 置换的运用

标签：数学

1.找出初始状态和目标状态。明显，目标状态就是排序后的状态。

2.画出置换群，在里面找循环。例如，数字是8 4 5 3 2 7，目标状态是2 3 4 5 7 8，能写为两个循环：(8 2 7)(4 3 5)。

3.观察其中一个循环，明显地，要使交换代价最小，应该用循环里面最小的数字2，去与另外的两个数字，7与8交换。这样交换的代价是：

sum - min + (len - 1) * min

化简后为：

sum + (len - 2) * min

其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字。

4.考虑到另外一种情况，我们可以从别的循环里面调一个数字，进入这个循环之中，使交换代价更小。例如初始状态：1 8 9 7 6

可分解为两个循环：(1)(8 6 9 7)，明显，第二个循环为(8 6 9 7)，最小的数字为6。我们可以抽调整个数列最小的数字1进入这个循环。使第二个循环变为：(8 1 9 7)。让这个1完成任务后，再和6交换，让6重新回到循环之后。这样做的代价明显是：

sum + min + (len + 1) * smallest

其中，sum为这个循环所有数字的和，len为长度，min为这个环里面最小的数字，smallest是整个数列最小的数字。

5.因此，对一个循环的排序，其代价是sum - min + (len - 1) * min和sum + min + (len + 1) * smallest之中小的那个数字。但这里两个公式还不知道怎么推出来的。

6.我们在计算循环的时候，不需要记录这个循环的所有元素，只需要记录这个循环的最小的数及其和。

7.在储存数目的时候，我们可以使用一个hash结构，将元素及其位置对应起来，以达到知道元素，可以快速反查元素位置的目的。这样就不必要一个个去搜索。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 10010;

int a[maxn],b[maxn],dir[100005];
int vis[maxn];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n) != EOF){
        for(int i = 0; i < n; i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            b[i] = a[i];
            dir[a[i]] = i;
        }
        sort(b,b+n);
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            if(!vis[i]){
                vis[i] = 1;
                int id = i,start = a[i];
                int len = 1,min_ = a[i],sum = a[i];
                
                ///找出置换的循环；
                while(1){
                    if(b[id] == start) break;
                    sum += b[id];
                    len ++;
                    min_ = min(min_,b[id]);
                    id = dir[b[id]];
                    vis[id] = 1;
                }
                
                ///求出在当前这个循环中的最小花费；
                int tmp = min(min_*(len-1) + sum-min_, b[0]*(len+1) + sum + min_);
                ans += tmp;
            }

        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/u013382399/article/details/40681633