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图的定义

图G由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系(边)的集合。

注意：线性表可以是空表，树可以是空树，图不可以是空图，图可以没有边，但是至少要有一个顶点。

1.有向图

若E是有向边（简称弧）的有限集合时，则G为有向图。弧是顶点的有序对，记为<v,w>，其中 v，w 是顶点，v 是弧尾，w 是弧头。称为从顶点v到顶点w的弧。

2.无向图

若E是无向边（简称边）的有限集合时，则G为无向图。边是顶点的无序对，记为 (v,w) 或(w,v) ，且有 (v,w) =(w,v) 。其中 v，w 是顶点。

3.简单图

无重边无自环的图成为简单图。

4.完全图

无向图中任意两点之间都存在边，称为无向完全图；如无向图中的示例就是完全图。

有向图中任意两点之间都存在方向向反的两条弧，称为有向完全图；如示例中的图就不是完全图，但如果没有顶点3和指向顶点3 的边，就是一个完全图。即下图是一个完全图。

有向完全图

5.子图

若有两个图G=(V,E),G1=(V1,E2)，若V1是V的子集且E2是E的子集，称G1是G的子图。

如上面的有向完全图是有向图的一个子图。

6.连通、连通图、连通分量（针对无向图）

在无向图中，两顶点有路径存在，就称为连通的。

若图中任意两顶点都连通，同此图为连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

7.强连通图、强连通分量（针对有向图）

在有向图中，两顶点两个方向都有路径，两顶点称为强连通。若任一顶点都是强连通的，称为强连通。有向图中极大强连通子图为有向图的强连通分量。

8.生成树和生成森林

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图，若图中有n个顶点，则生成树有n-1条边。所以对于生成树而言，若砍去一条边，就会变成非连通图。

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

9.顶点的度、入度和出度

顶点的度为以该顶点为一个端点的边的数目。

对于无向图，顶点的边数为度，度数之和是顶点边数的两倍。

对于有向图，入度是以顶点为终点，出度相反。有向图的全部顶点入度之和等于出度之和且等于边数。顶点的度等于入度与出度之和。

注意：入度与出度是针对有向图来说的。

10.边的权和网

图中每条边上标有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。这种图称为带树图，也称作网。

11.路径、路径长度和回路

两顶点之间的路径指顶点之间经过的顶点序列，经过路径上边的数目称为路径长度。若有n个顶点，且边数大于n-1，此图一定有环。

12.简单路径、简单回路

顶点不重复出现的路径称为简单路径。

除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

13.距离

若两顶点存在路径，其中最短路径长度为距离。

14.有向树

有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图称作有向树。

15.欧拉路，欧拉回路，哈密顿回路

图论基础

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