概述

感知机分类一文中提到了感知机模型在分类问题上的应用，如果，我们需要将其使用于回归问题呢，应该怎样处理呢？

其实只要修改算法的最后一步，
sign(x)={+1?1,x≥0,x<0(1.1)$sign(x)=\left\{\begin{matrix}+1 &, x\geq 0\\ -1 &, x< 0\end{matrix}\right.\tag{1.1}$sign(x)={+1?1?,x≥0,x<0?(1.1)
函数即可。经过sign函数的处理，只可能是两个值，要么1，要么-1,。如果将最后的sign函数改成该函数：
f(x)=x(1.2)$f(x)=x\tag{1.2}$f(x)=x(1.2)
那么，最后的输出值就是一个实数而不是1或-1中的一个值了，这样就达到了回归的目的。

损失函数

在实际问题中，损失函数是根据不同的问题进行设计的，因此，单单改变了激活函数还不够，还需要改变损失函数，通常情况下，回归问题使用的损失函数为：
e=12(y?y?)2(2.1)$e=\frac{1}{2}(y-\hat{y})^2\tag{2.1}$e=21?(y?y^?)2(2.1)
在公式(2.1)中，y$y$y表示训练样本里面的标记，也就是实际值；y?$\hat{y}$y^?表示模型计算的出来的预测值。e$e$e叫做单个样本的误差。至于为什么前面要乘1/2$1/2$1/2，是为了后面计算方便。

根据公式(2.1)，在n$n$n个样本的数据集中，可以将总误差E$E$E记为：
E=12∑i=1n(y(i)?y?(i))2(2.2)$\begin{aligned}E&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})^2\end{aligned}\tag{2.2}$E?=21?i=1∑n?(y(i)?y^?(i))2?(2.2)
在公式(2.2)中，y(i)$y^{(i)}$y(i)表示第i$i$i个样本的真实值，y?(i)$\hat{y}^{(i)}$y^?(i)表示第i$i$i个样本的预测值。且
y?(i)=h(x(i))=wTx(i)(2.3)$\begin{aligned}\hat{y}^{(i)}&=h(\mathrm{x}^{(i)})\\&=\mathrm{w}^T\mathrm{x^{(i)}}\end{aligned}\tag{2.3}$y^?(i)?=h(x(i))=wTx(i)?(2.3)
我们的目的，是训练模型：求取到合适的w$\mathrm{w}$w，使(2.2)取得最小值。

求参数的方法

3.1 极大似然估计

该方法之前有提到过，大致思路为让损失函数对参数求导并令其为0，求出参数的值。具体的可以参考线性回归模型 ，但该方法仅适用于激活函数为f(x)=x$f(x)=x$f(x)=x的情况。

3.2 梯度下降算法

该方法是计算机通过强大的计算能力，一步步把极值点“试”出来，大致过程如下：

还记的感知机学习的步骤吗？主要是解决两个问题：

1. 往哪走？
2. 走多远？

首先随机选择一个点x$x$x，在之后的过程中每次修改该点，经过数次迭代之后最终到达函数的最小值点。根据梯度的性质：梯度的反方向是函数值下降最快的方向，每次沿着梯度相反的方向修改x$x$x的值，最后是有可能走到极小值附近的。该公式可以表示为：
xnew=xold?η?f(x)(3.1)$\mathrm{x}_{new}=\mathrm{x}_{old}-\eta\nabla{f(x)}\tag{3.1}$xnew?=xold??η?f(x)(3.1)
将其应用于我们的目标函数的权值中时，则有
wnew=wold?η?E(w)(3.2)$\begin{aligned}\mathrm{w}_{new}=&\mathrm{w}_{old}-\eta\nabla{E(\mathrm{w})}\\\tag{3.2}\end{aligned}$wnew?=?wold??η?E(w)?(3.2)
对?E(w)$\nabla{E(\mathrm{w})}$?E(w)则有：
?E(w)=??wE(w)=??w12∑i=1n(y(i)?y?(i))2=12??w∑i=1n(y(i)2?2y?(i)y(i)+y?(i)2)=12??w∑i=1n(?2y?(i)y(i)+y?(i)2)=12∑i=1n[?2y(i)?y?(i)?w+?y?(i)2?w]=12∑i=1n[?2y(i)?wTx(i)?w+2y?(i)?wTx(i)?w]=12∑i=1n[?2y(i)x(i)+2y?(i)x(i)]=?∑i=1n(y(i)?y?(i))x(3.3)$\begin{aligned}\nabla{E(\mathrm{w})}&=\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}E(\mathrm{w})\\&=\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})^2\\&=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)2}-2\hat{y}^{(i)}y^{(i)}+\hat{y}^{(i)2})\\&=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\sum_{i=1}^{n}(-2\hat{y}^{(i)}y^{(i)}+\hat{y}^{(i)2})\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}[-2y^{(i)}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial\mathrm{w}}+\frac{\partial \hat{y}^{(i)2}}{\partial \mathrm{w}}]\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}[-2y^{(i)}\frac{\partial \mathrm{w}^T\mathrm{x^{(i)}}}{\partial\mathrm{w}}+2\hat{y}^{(i)}\frac{\partial \mathrm{w}^T\mathrm{x^{(i)}}}{\partial \mathrm{w}}]\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}[-2y^{(i)}\mathrm{x^{(i)}}+2\hat{y}^{(i)}\mathrm{x^{(i)}}]\\&=-\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})\mathrm{x}\tag{3.3}\end{aligned}$?E(w)?=?w??E(w)=?w??21?i=1∑n?(y(i)?y^?(i))2=21??w??i=1∑n?(y(i)2?2y^?(i)y(i)+y^?(i)2)=21??w??i=1∑n?(?2y^?(i)y(i)+y^?(i)2)=21?i=1∑n?[?2y(i)?w?y^?(i)?+?w?y^?(i)2?]=21?i=1∑n?[?2y(i)?w?wTx(i)?+2y^?(i)?w?wTx(i)?]=21?i=1∑n?[?2y(i)x(i)+2y^?(i)x(i)]=?i=1∑n?(y(i)?y^?(i))x?(3.3)
所以，梯度更新公式为：
wnew=wold+η∑ni=1(y(i)?y?(i))x(i)(3.4)$\mathrm{w}_{new}=\mathrm{w}_{old}+\eta\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})\mathrm{x}^{(i)}\tag{3.4}$wnew?=wold?+ηi=1∑n?(y(i)?y^?(i))x(i)(3.4)
若有M+1个特征，（常数项也包括在内），则w,x$\mathrm{w},\mathrm{x}$w,x是M+1维列向量，所以(3.4)可以写成
??????w0w1w2...wm??????new=??????w0w1w2...wm??????old+η∑ni=1(y(i)?y?(i))????????1x(i)1x(i)2...x(i)m????????$\begin{bmatrix}w_0 \\w_1 \\w_2 \\... \\w_m \\\end{bmatrix}_{new}=\begin{bmatrix}w_0 \\w_1 \\w_2 \\... \\w_m \\\end{bmatrix}_{old}+\eta\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})\begin{bmatrix}1 \\x_1^{(i)} \\x_2^{(i)} \\... \\x_m^{(i)} \\\end{bmatrix}$???????w0?w1?w2?...wm?????????new?=???????w0?w1?w2?...wm?????????old?+ηi=1∑n?(y(i)?y^?(i))????????1x1(i)?x2(i)?...xm(i)??????????

与分类器的比较

5.代码实现

代码在这里， 翻我牌子

制作数据

import numpy as np

from sklearn.model_selection import train_test_split

def load_data(n):
    X = np.arange(0, 10, 0.1)
    y = X + (np.random.rand(len(X)) - 0.5) * n
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)
    return X_train, X_test, y_train, y_test

def show_data():
    import matplotlib.pyplot as plt
    print(X.shape)
    plt.scatter(X, y)
    plt.plot(X, X)
    plt.show()

主代码

‘‘‘
用感知机实现回归算法
‘‘‘
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()

class ProceptronRegression():
    def __init__(self, max_itr=100, lr_rate=0.01, eps=0.1):
        self.max_itr = max_itr
        self.lr_rate = lr_rate
        self.eps = eps

    def SquareLoss(self, y, y_pred):
        return np.sum((y - y_pred)**2) / len(y)**2

    def fit(self, X, y):
        w = np.random.rand(2) # b, a, 构造y = a*x + b

        for itr in range(self.max_itr):
            # print(len(X)**2)
            temp = 0
            for d in range(len(X)):

                x_ = np.array([1, X[d]])
                y_ = y[d]
                temp += (y_ - np.dot(w, x_)) * x_

            # print(temp)
            w += self.lr_rate * temp
            # print(w)
            self.w = w
            y_pred = self.predict(X)
            if self.SquareLoss(y, y_pred) < self.eps:
                print("iterations:", itr+1)
                break

        print("Train Finished !")
        return



    def predict(self, X):
        return  np.dot(X, self.w[1]) + self.w[0]

    def score(self, X, y):
        y_pred = self.predict(X)
        return self.SquareLoss(y, y_pred)

if __name__ == "__main__":
    from Data.make_regression import  load_data
    X_train, X_test, y_train, y_test = load_data(4) # 参数为离散程度
    rgs = ProceptronRegression(max_itr=100, lr_rate=1e-4, eps=0.01)
    rgs.fit(X_train, y_train)
    print("training loss: ", rgs.score(X_test, y_test))

    y_pred = rgs.predict(X_test)
    print("predict: ", y_pred)

    plt.scatter(X_train, y_train, label="train")
    xx = np.arange(X_train.min(), X_train.max(), 0.01)
    plt.plot(xx, rgs.w[1]*xx + rgs.w[0], ‘r‘)
    plt.scatter(X_test, y_pred, label=‘predict‘)
    plt.legend()
    plt.show()