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29-相似矩阵和若尔当形

时间:2020-02-22 13:38:46      阅读:84      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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一、接着上一节说正定矩阵

 所谓正定,就是$x^TAx > 0$($except \space for \space x = 0$)成立,我们通常也可以通过特征值,主元,行列式来判断

 虽然我们知道了什么是正定矩阵,如何判断正定矩阵,那么正定矩阵是从何而来的呢?主要来自:最小二乘法

 实际上,大量的物理问题需要用长方形矩阵来描述,我们知道最小二乘法的关键是矩阵:$A^TA$,我们希望证明这是正定矩阵

 

 如果我们知道矩阵$A, B$都是正定的,那么矩阵$A+B$是否是正定的呢?我们只需要证明:$x^T(A+B)x > 0$,我们知道:

$x^TAx > 0$

$x^TBx > 0$

两式相加,即可证明$x^T(A+B)x > 0$,因此矩阵$A+B$正定

 

 下面我们来证明最小二乘法的关键矩阵是否正定:假设矩阵$A_{m*n}$(不是对称矩阵,所以不是正定的)但我们知道:$A^TA$是方阵,并且对称,我们只需要证明下面的式子恒大于0:

$x^T(A^TA)x > 0$

证明:$x^T(A^TA)x = (Ax)^T(Ax) = |Ax|^2 >= 0$,矩阵乘以向量得到向量,向量的平方相当于求向量的模长,只要$x$不等于0,那么上面的式子恒大于0

 

二、相似矩阵

 假设矩阵为:$A_{n*n}, B_{n*n}$,不要再把他当做对称矩阵,就是普通的方阵,$A, B$相似的意思是:存在某个可逆矩阵$M^{-1}$,使得下式成立

$B = M^{-1}AM$,可能你会觉得该式子来得比较突然,这样组合有什么意义

 其实上面的式子,你应该不陌生,还记得下面的公式吧,矩阵对角化

$A = S\Lambda S^{-1}, \Lambda = S^{-1}AS$

这说明$\Lambda$和$A$相似,$S$就是上面的$M$,但是如果$M$不取$S$,用其他矩阵的话,$M^{-1}AM$的结果就不是对角化矩阵$\Lambda$,而是新的相似于$A$的矩阵

其实改变$M$,只要可逆,就会得到很多与$A$相似的矩阵,他们和$\Lambda$一样与$A$相似,这些与$A$相似的矩阵应该归为一类,只是$\Lambda$是这些相似矩阵中最为简洁的一个:因为其为对角化矩阵

 

 我们为什么会对相似矩阵感兴趣呢?因为他们有共同的性质-他们的特征值都相同,我们来举例

$A = \left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {1} & {2}\end{array}\right]$,其特征值为$3, 1$

其对角化矩阵为:$\Lambda = \left[\begin{array}{ll}{3} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right]$,其特征值为$3, 1$

我们再随便取一个$M = \left[\begin{array}{ll}{1} & {4} \\ {0} & {1}\end{array}\right]$

$M$的逆矩阵为:$M^{-1} = \left[\begin{array}{ll}{1} & {-4} \\ {0} & {1}\end{array}\right]$

$B = M^{-1}AM = \left[\begin{array}{ll}{1} & {-4} \\ {0} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {1} & {2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{1} & {4} \\ {0} & {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{-2} & {-15} \\ {1} & {6}\end{array}\right]$,其特征值为$3, 1$

再取其他$M$,会得到新的矩阵,和$A$相似,这些相似矩阵都有相同的特征值$3, 1$

 

 那么为什么相似矩阵会有相同的特征值呢?我们来证明一下

  首先,$Ax = \lambda x$,我们知道:$B = M^{-1}AM$,我们把$MM^{-1}$添加到$Ax$中间:

$AMM^{-1}x = \lambda x$

等式两侧同乘$M^{-1}$:$M^{-1}AMM^{-1}x = M^{-1} \lambda x$,$B$出现啦

$BM^{-1}x = \lambda M^{-1}x$,我们把$M^{-1}x$当作新的向量,并命名为$z$,则

$Bz = \lambda z$,所以$\lambda$也是$B$的特征值,同时我们知道:$M^{-1}$乘以$A$的特征向量是$B$的特征向量

注意:相似矩阵的特征值相同,但特征向量不同,比如一个是$x$,一个是$z$,即$M^{-1}x$,特征向量不会相同的,如果特征值和特征向量都相同,那么不叫相似矩阵了,他们就是相同的矩阵

 

三、特殊情况

 上面二中所讲的例子,正好是两个特征值不相等(一个是3,一个是1)的情况,也就是原矩阵$n$个特征向量线性无关,可以对角化。

 但是我们不能排除如果特征值相等(也就是特征向量存在相关性),特征值相等的矩阵求相似矩阵,还可以分为两种情况,我们还是以$2*2$矩阵为例:

 1)相似矩阵只有原矩阵一个(孤零零的一个人),也可以说不存在相似矩阵,因为只有自己一个,如:

$A = \left[\begin{array}{ll}{4} & {0} \\ {0} & {4}\end{array}\right]$,其特征值为$4, 4$

我们发现:$B = M^{-1}\left[\begin{array}{ll}{4} & {0} \\ {0} & {4}\end{array}\right]M=M^{-1}4IM=4I=A$

无论$M$取何矩阵,最后与$A$相似的矩阵只有原矩阵自己一个

 

 2)另外一种特征值相同,不可以对角化,如:

$\left[\begin{array}{ll}{4} & {1\space or \space something \space other} \\ {0} & {4}\end{array}\right]$

  我们发现上面的矩阵特征值相同,均为$4$,该家族中最好的矩阵是右上角那个值是1,,而这种形式被称为若尔当标准型(Jordan Form),这是该家族中最简洁的,最接近对角阵的一个。也就是说虽然原矩阵不可以对角化,但是可以找到最接近对角化矩阵的一个

 

  我们来看看这个家族(相似矩阵)的几个成员:

$\left[\begin{array}{ll}{4} & {1} \\ {0} & {4}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}{5} & {1} \\ {-1} & {3}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}{4} & {0} \\ {17} & {4}\end{array}\right],......$

是不是第一个最接近对角化矩阵呢

这些矩阵都是相似的,只要找到合适的$M$,都可以证明一个矩阵相似于另一个

但要注意:一般矩阵很难化成若尔当标准型,因为若尔当标准型依赖于特征值严格相等

 

 3)下面还有一点没看懂,有空再补充

  请参考

29-相似矩阵和若尔当形

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原文地址:https://www.cnblogs.com/always-fight/p/12339616.html

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