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题目

有\(n\)个物品，价值为\(A_i\)。取得一个物品需要花费\(t_i\)的时间。
设\(T=\sum t_i\)。这些物品都要取完，总共要花\(T\)的时间。
物品的价值会随着时间递增而减少。
如果在时刻\(x\)取完物品\(i\)，则此时收获的价值为\(A_i(1-\frac{cx}{T})\)
求\(c\)的最大值，使得：对于所有的最终获得价值尽量多的最优方案，都不存在满足\(A_i>A_j\)的\(i,j\)同时满足\(A_i(1-\frac{cx_i}{T})<A_j(1-\frac{cx_j}{T})\)。
\(n\leq2e5\)

思考历程&正解

看到部分分中的\(\frac{A_i}{t_i}\)，心中有些想法。知道自己不会证于是写了程序拍一下发现是对的……
（具体证明可以考虑相邻物品的顺序）
接下来的问题是若何决定\(\frac{A_i}{t_i}\)相同的块中内部的顺序。
于是接下来另外猜结论，证明靠拍，搞了半天发现下一个结论是错了……
后来发现我思想僵化，以为一定存在一种排列方式，使得它的\(c\)永远是最大的……

在乱搞的时候很容易发现这条式子：

右边的那条东西显然是个斜率的形式。
那么可以考虑，对于\(i\)来说，最大的斜率是多少。
那么我们希望\(x_i\)尽量大，\(x_j\)尽量小。
于是钦定\(i\)所在块最后一个被选的（时间记为\(R_i\)），\(j\)为所在块第一个被选的（时间记为\(L_i\)）。这个时间可以预处理出来。
按照\(A_i\)从小往大的顺序操作。建立平面直角坐标系。在加入\(A_i\)之前，计算当前坐标系中的点和\((A_i,A_iR_i)\)的最大斜率；计算之后将\((A_i,A_iL_i)\)丢入坐标系中。
比赛时我二分\(\frac{1}{c}\)的值，将其转化为判定性问题之后，发现特别好写……
如果我不是被垃圾C++坑了，我就AC了……（二分的精度设置了1e-10，然后到了这个精度之后\(mid\)算出来永远跟\(l\)一样，然后就死循环了……）

比赛之后gmh77发表了他的\(O(n)\)的撵爆正解的方法：
不需要二分，只需要比较相邻点即可……
具体的理解，可以自己画图看看，或者根据二分之后判定的代码，不难发现这个是等价的。

代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#define N 200010
#define ll long long
int n;
struct Problem{
	int a,t;
} p[N];
bool cmpp(Problem x,Problem y){return (ll)x.a*y.t>(ll)y.a*x.t;}
double L[N],R[N];
int q[N];
bool cmpq(int x,int y){return p[x].a<p[y].a;}
bool judge(double k){
	double b=1e17,lstx=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		double x=p[q[i]].a,y=p[q[i]].a*R[q[i]];
		b+=(x-lstx)*k;
		if (lstx<x && b<y)
			return 0;
		y=p[q[i]].a*L[q[i]];
		b=min(b,y);
		lstx=x;
	}
	return 1;
}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	freopen("score.in","r",stdin);
	freopen("score.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&p[i].a);
	ll T=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&p[i].t),T+=p[i].t;
	sort(p+1,p+n+1,cmpp);
	p[0]={1,0},p[n+1]={0,1};
	ll sumt=0;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		L[i]=((ll)p[i].a*p[i-1].t==(ll)p[i-1].a*p[i].t?L[i-1]:sumt);
		sumt+=p[i].t;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		L[i]+=p[i].t;
	for (int i=n;i>=1;--i){
		R[i]=((ll)p[i].a*p[i+1].t==(ll)p[i+1].a*p[i].t?R[i+1]:sumt);
		sumt-=p[i].t;
	}
	for (int i=1;i<=n;++i)
		L[i]/=T,R[i]/=T;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		q[i]=i;
	sort(q+1,q+n+1,cmpq);
	double l=0,r=1e16;
	while (r-l>1e-8){
		double mid=(l+r)/2;
		if (judge(mid))
			r=mid;
		else
			l=mid;
	}
	double c=1/r;
	c=min(c,1.0);
	printf("%.9lf\n",c);
	return 0;
}

总结

二分精度不能太大，学到了……

6700. 【2020.06.07省选模拟】得分

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原文地址：https://www.cnblogs.com/jz-597/p/13056415.html