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例子

• 求解 \(\sum\limits_{i = 1} ^ n i ^ 2\)

设它的递推式为

已知 \(\alpha = \beta = \gamma = 0, \delta = 1\) 时，\(R_n=\sum_{i = 1}^n i^2\)

因为递推式只与参数 \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) 相关，可以得出

那么任意符合上面这个递推式的都可以用这个一般形式得出，强调一下，无论 \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) 取什么，\(A(n),B(n),C(n),D(n)\) 都是不变的

这启发我们用一些简单的函数来求解 \(A(n), B(n), C(n), D(n)\)

带入函数1

• 对于 \(f(n) = 1\)

得出一个关系式

带入函数2

• 对于 \(f(n) = n\)

又一个关系式

带入函数3

• 对于 \(f(n) = n^2\)

跟上面的式子联立，可以解出 \(C(n) = \frac{n^2 + n} 2\)

带入函数4

• 对于 \(f(n) = n^3\)

可以解出

这个式子是不是有些眼熟，对，它就是平方和公式，只要把 \(\delta\) 设为 1，就可以发现 \(D(n) = \sum_{i = 1} ^ n i^2\)，一开始设它的目的也是这个

一般情况

从上面的例子可以看出，对已一个递推公式来说，最终的封闭形式只与项数 \(n\)，和其中的变量有关

因此我们可以设出封闭形式，并带入简单函数进行求解

需要注意的是，设出的函数必须可解，当带入一个简单函数无法通过 \(\delta,\beta...\) 来得到递推式时，要么考虑换一个函数，要么增加一个变量

这就需要通过做题来增加数学经验了

求解递推数列的成套方法

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原文地址：https://www.cnblogs.com/XiaoVsun/p/13063570.html