标签：sla nta back 提醒 了解 估计 ack lin 根据
我们来介绍闭包及其相关的概念
下面所提及的闭包是对\(H\)（在\(T\)中)而言的
the closure of \(H\) (in \(T\)) is defined as:
where \(H‘\) is the derived set(导集) of \(H\)
这个定义估计是在度量空间里定义闭包所用的最常见的定义了.
the closure of \(H\) (in \(T\)) is defined as:
即,包含\(H\)的所有闭集的交
is defined as the smallest closed set of \(T\) that contains \(H\).
即,在\(T\)中包含\(H\)的最小闭集.
本身和其边界的并
经同学的提醒知道了是数分书上的定义.
是\(H\)所有聚点和孤立点的并
\(H\)所有凝聚点所构成的集合,这里暂且将其称之为凝聚点,其英文为 adherent point.
这里所说的凝聚点的定义和聚点的区别在于:不用挖去其自己本身.
在这里我们在数分书上所定义的聚点英文为:limit point
设 \(K\) 是任意一个包含 \(H\) 的闭集
由定义一,我们我们可以得到以下两点
所以有 \(H^- \subseteq K^- = K\)
由于\(K\) 是任意的,根据并集的定义,因为\(H^-\)对任何一个\(K\)都满足上面的关系,所以有:
\(H^- \subseteq \bigcap K\)
我们很容易便能知道, \(H^-\) 也是包含 \(H\)的闭集,
\(\forall x \in \bigcap K \Rightarrow x \in H^-\)
所以有\(H^- \supseteq \bigcap K\)
\(\Box\)
如果 \(H^-\) 是最小闭集,那么\(H^- \subseteq \bigcap K\)
和上一题类似的证明方法.
我们首先要了解一下边界的定义
$\partial H = H^- \backslash H^ \circ $
\(\partial H = H^- \cap (H^c)^-\)
从下面的这个定义我们可以看出,边界中的任意一点的任意邻域中都既有 \(H\) 中的点,也有 \(H\) 外的点,这正是我们最初的定义.
只要意识到 \((H^ \circ)^c = (H^c)^-\),即能够构建这两个定义的等价.在此我不加赘述,详细的证明在尤承业所著的书中.
可以看出边界和内部(interior)与闭包(closure)这两个概念有关,不妨在介绍内部的时候再来证明两者之间的等价关系.
\(S\) 为全集,若$ S \backslash (H^i \cup H‘) = \varnothing$$\Rightarrow$$S =H^i \cup H‘ \supseteq H \cup H‘$,已然得证.
若\(M = S \backslash (H^i \cup H‘) \neq \varnothing\),根据德·摩根定律有，$ M = (S \backslash H^i) \cap (S \backslash H‘) \neq \varnothing$
\(\forall x \in M, x\) 不是孤立点,所以 \(\forall U(x) \cap H \neq \{x\}\),
又因为 \(x\) 不是聚点,所以 \(\exists U(x) ,s.t. H\cap (U(x) \backslash \{ x\}) = \varnothing\)
根据上个条件,可以等价于\(U \cap H = \varnothing\) \(\Rightarrow x \notin H^- = H‘ \cup H\)
则 $ \forall x \notin (H^i \cup H‘) \Rightarrow x \notin = H‘ \cup H$
参考逆否命题则得证\(\Box\)
容易得到的,用导集的定义和凝聚点的定义.
根据是否属于H,分两类讨论即可.
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原文地址：https://www.cnblogs.com/dictat/p/13166678.html
