复变（9） —— 拉普拉斯变换

You don‘t know about real loss…cause that only occurs when you love something more than you love yourself.
你不了解真正的失去，唯有爱别人胜于自己才能体会。

复变（9） —— 拉普拉斯变换

鬼知道我怎么突然想写复变函数，
从尾复习到头吧。
没有学过留数，有这闲时看的话，再看也行。

目录

1. 拉普拉斯变换的概念1.1 定义1.2 和傅里叶的比较：1.3 拉普拉斯转傅里叶1.4 拉普拉斯变换存在定理2. 拉普拉斯变换的性质2.1 线性性质2.2 相似性质2.3 微分性质2.4 积分性质2.5 延迟性质2.6 位移性质3. 周期函数的拉普拉斯变换4. 拉普拉斯逆变换4.1 卷积4.2 卷积定理4.3 拉普拉斯逆变换

1. 拉普拉斯变换的概念

1.1 定义

拉普拉斯变换： 定义在正实轴(t)上的函数f(t)，对于复参数s，有积分

在复平面s的某区域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。

原函数： f(t)
像函数： F(s)

1.2 和傅里叶的比较：

• 拉普拉斯只管正实轴，轴t普遍为时间轴，工程上t<0无意义。
• 拉普拉斯能搞不满足绝对可积的函数。

1.3 拉普拉斯转傅里叶

1.4 拉普拉斯变换存在定理

只要这个函数任意有限区间分段连续且存在增长速度慢于某个指数函数就行。

2. 拉普拉斯变换的性质

2.1 线性性质

2.2 相似性质

证个乐呵，

2.3 微分性质

会证，多重导也不慌，

2.4 积分性质

1. 积分的像函数：

证明，

2. 像函数的积分：

这个咱也不好证，看着乐呵便罢。

2.5 延迟性质

原函数的t加减咱叫延迟，

这个好证，

2.6 位移性质

像函数的s加减咱叫位移，

证明，

3. 周期函数的拉普拉斯变换

f(t)是[0, +∞]内以*T为周期的函数，且一个周期内逐段光滑，有，

证明，

4. 拉普拉斯逆变换

4.1 卷积

在拉普拉斯的定义中，t<0时，两个函数的值都为0，有

4.2 卷积定理

4.3 拉普拉斯逆变换