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「状压DP」「暴力搜索」排列

题目描述：

题目描述

给一个数字串 s 和正整数 d, 统计 sss 有多少种不同的排列能被 d 整除（可以有前导 0）。例如 123434 有 90 种排列能被 2 整除，其中末位为 2 的有 30 种，末位为 4 的有 60 种。

输入格式

输入第一行是一个整数 TTT，表示测试数据的个数，以下每行一组 s 和 d，中间用空格隔开。s 保证只包含数字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

输出格式

每个数据仅一行，表示能被 d 整除的排列的个数。

输入输出样例

输入 #1

7
000 1
001 1
1234567890 1
123434 2
1234 7
12345 17
12345678 29

输出 #1

1
3
3628800
90
3
6
1398

说明/提示

100% 的数据满足：s 的长度不超过 10，1≤d≤1000，1≤T≤15。

在前三个例子中，排列分别有 1,3,36288001 种，它们都是 1 的倍数。

解法1：状压DP

思路：

s的长度很短，不是暴搜就是状压，然鹅这道题都可以用

大多数状压中都是当前某个状态对之后于此相关状态产生影响

因此可以对整个序列的长度进行状压，详见代码

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=(1<<10)+5,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,f[maxn][1000],sum[11],mol,a[maxn],vis[maxn];
char str[1000];
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
	return s*w;
}
int main(){
	freopen("a.in","r",stdin);
	int t=read();
	while(t--){
		memset(f,0,sizeof(f));
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		scanf("%s",str);
		int n=strlen(str);
		mol=read();
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[i]=str[i-1]-‘0‘;
		}
		int maxs=(1<<n)-1;
		f[0][0]=1;//0序列为000....的方案肯定只有一种
		for(int s=0;s<=maxs;s++){//s代表所选的数的状态，00101代表选了第一个数和第三个数的状态
			memset(vis,0,sizeof(vis));//vis记录这个数是否被访问过，因为相同的数会被重复计入方案，
			                          //如，对11230排列，11230和11230会被重复计算，用vis就可以去重，当然也可以不用vis用数学方法去重，即记录所有数出现的个数，最后ans/=cnt[i]！(i=0~9)
                        for(int i=1;i<=n;i++){   //i表示下一个要选的数
				if(s&(1<<(i-1))||vis[a[i]])continue;//s&（i<<(i-1)）表示当前枚举的数被包含在了当前状态s里面，不用再次计算
				vis[a[i]]=1;
				for(int k=0;k<mol;k++){//枚举所有余数k，f[s][k]代表所选的数的状态为s，且余数为k时的总排列数
					f[s|(1<<(i-1))][(k*10+a[i])%mol]+=f[s][k];//解释：因为我们的状态是从小到大枚举的，所以f[s][k]会对
                                         //它的所有下一个状态产生影响，而下一个状态的余数恰恰是(k*10+a[i])%mol
                                         //举个例子，序列1234，模数是4，当前状态0011代表12的排列，12会转移到124和123即 原数*10+a[i]，相应的余数就会变成 (余数*10+a[i])%mol,即0和3
					//	cout<<f[s|(1<<(i-1))][(k*10+a[i])%mol]<<endl;
				}
			}
		}
		cout<<f[maxs][0]<<endl;
	}
}

解法2：暴搜

相对于状压而言，暴搜更好想一些，就是从低位依次枚举至高位，但是时间消耗更大，洛谷上会T两个点，可能剪剪枝会过

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=(1<<10)+5,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,f[maxn][1000],sum[11],mol,a[maxn],vis[maxn],ans;
char str[1000];
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
	return s*w;
}
void DFS(int now,long long x){//看数据范围，不开long long会炸，x代表当前的数，now代表当前位数
	if(now>n){//now>n说明x是末状态
		if(x%mol==0)ans++;
		return;
	}
	for(int i=0;i<=9;i++){
		if(sum[i]){
			sum[i]--;//为保证当前这一位选取这个元素对这一位选取其他元素没影响，所以自减后要自加回来
			DFS(now+1,x*10+i);
			sum[i]++;
		}
	}
}
int main(){
	freopen("a.in","r",stdin);
	int t=read();
	while(t--){
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		string str;
		cin>>str;
		mol=read();
		n=str.size();
		ans=0;
		for(int i=0;i<str.size();i++){
			a[i]=str[i]-‘0‘;
			sum[a[i]]++;
		}
		DFS(1,0);
		cout<<ans<<endl;
	}
}

解法3：next_permutation生成全排列

应该所有人都想过用全排列来写，但是时间开销很大，吾日观洛谷，发现STL中的几个比较有趣的函数：

next_permutation：从原递增序列中求出所有全排列

prev_permutation：从原递减序列中求出所有全排列

atol：将字符串转换为数列

详见代码

代码1：不用atol正常写

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=(1<<10)+5,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,f[maxn][1000],sum[11],mol,a[maxn],vis[maxn],ans;
char str[1000];
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
	return s*w;
}
int main(){
	freopen("a.in","r",stdin);
	int t=read();
	while(t--){
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		string str;
		cin>>str;
		mol=read();
		n=str.size();
		ans=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			a[i]=str[i]-‘0‘;
		}
		sort(a,a+n);//严格要求必须递增，否则全排列不对
		do{
			long long temp=0;
			for(int i=0;i<n;i++)temp=temp*10+a[i];//全排列是保存在数组a里的，通过这种方法取出来
			if(temp%mol==0)ans++;
		}while(next_permutation(a,a+n));
		cout<<ans<<endl;
	}
}

代码2：用atol

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=(1<<10)+5,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,f[maxn][1000],sum[11],mol,a[maxn],vis[maxn],ans;
char str[1000];
inline int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)s=s*10+ch-‘0‘,ch=getchar();
	return s*w;
}
int main(){
	freopen("a.in","r",stdin);
	int t=read();
	while(t--){
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		char str[maxn];//string排序排的是字符串，char排的是字符
		cin>>str;
		mol=read();
		n=strlen(str);
		ans=0;
		sort(str,str+n);
		do{
			long long temp=atoll(str);//直接转
			
			if(temp%mol==0)ans++;
		}while(next_permutation(str,str+n));
		cout<<ans<<endl;
	}
}

「状压DP」「暴力搜索」排列perm

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