整数的lqp拆分 题解

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设 \(F(x)\) 为斐波那契数列的生成函数，\(G(x)\) 为答案的生成函数，显然：

即 \(G(x)=\frac{1}{1-F(x)}\)

由 \(F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\) 可得，\(G(x)=\frac{1-x-x^2}{1-2x-x^2}=1+\frac{x}{1-2x-x^2}\)

然后按求斐波那契的通项公式那样去求

把分母给拆分了

\(G(x)=1+\frac{x}{(1-\phi_1 x)(1-\phi_2 x)}\)

解方程可以解出 \(\phi_1 = 1-\sqrt{2},\phi_2=1+\sqrt{2}\)

然后把 \(G(x)\) 拆分一下，得：

其中

那么

得出方程式

解得 \(\begin{cases} a=\frac{-1}{2\sqrt{2}}\\ b=\frac{1}{2\sqrt{2}} \end{cases}\)

那么第 \(n\) 项的通项公式显然就是 \(\frac{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n}{2\sqrt{2}}\)

至于 \(\sqrt{2} \operatorname{mod} 10^9+7\) 怎么去做，详见我的二次剩余学习笔记

发现 \(n\) 好像很大的样子，直接用降幂大法去做，即令 \(n\mod \varphi(10^9+7)+\varphi(10^9+7)\)

以下是优美的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll Sqrt2=5971360,mod=1e9+7,phi=1e9+6;//为了防抄袭把Sqrt2去掉了一个数（
ll ksm(ll b,int n){
	ll res=1;
	while(n){
		if(n&1) res=res*b%mod;
		b=b*b%mod; n>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	string s;
	ll n=0,fl=0;
	cin>>s;
	int len=s.size();
	for(int i=0;i<len;++i){
		n=n*10+s[i]-‘0‘;
		if(n>=phi) fl=1;
		if(fl) n%=phi;
	}
	if(fl) n+=phi;
	ll ans=(ksm(1+Sqrt2,n)-ksm(1-Sqrt2+mod,n)+mod)%mod*ksm((Sqrt2+Sqrt2)%mod,mod-2)%mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}

整数的lqp拆分 题解

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原文地址：https://www.cnblogs.com/limit-ak-ioi/p/13217264.html