大学物理 —— 振动学

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边工作边探求，你便可拴住机会的车轮。

大学物理 —— 振动学

本来不想写的…

目录

1. 振动的概念2. 简谐振动3. 弹簧振子4. 旋转矢量:5. 简谐振动实例单摆 （摆动角度很小：θ ≈ sinθ)6. 简谐振动的能量7. 简谐振动的合成7.1 多频同向的两个振动合成7.2 多个同频同向同振幅振动，相位差成等差且公差为δ7.3 同向不同频的两个振动7.4 垂直方向合成8. 阻尼运动8.1 阻尼振动：受到阻力作用的振动，也称减幅振动。8.2 阻尼振动表达式：9. 受迫振动?共振

1. 振动的概念

振动： 自然界中物质的一种很普遍的运动形式。

广义上的振动是描述一切物质运动状态的物理量在某一数值附近做周期性的变化。

• 机械振动： 物体在一定位置附近作周期性的往返运动。
• 电磁振动： 电流、电压、电场强度、磁场强度在某一平衡值作周期性变化。

2. 简谐振动

简谐振动： 离开平衡位置的唯一（或角位移）按余弦函数/正弦函数的规律变动

简谐振动方程

物理量(补充用)

• 角频率：描述振动快慢的物理量，决定于振动系统的动力学性质。

• 由初使条件(x0，v0)确定的物理量：

  • 振幅： 振动物体离开平衡位置的最大距离。
    

    

  • 初相：t = 0时的相位。
    

    

• 相位差： 同一时刻相位的差。

  • 超前 ：相位差 > 0 (指减号左边)
  • 滞后 ：相位差 < 0 (指减号左边)
  • 同相 ：相位差为偶数π倍 (±2kπ）
  • 反相 ：相位差为奇数π倍 (±(2k+1)π）

• 角频率数值上等于谐振动系统中旋转矢量转动的角速度。

• 质点作简谐振动时，速度和加速度也随时间作周期性变化。（求导）

3. 弹簧振子

弹簧振子： 研究谐振的理想模型

• 设一条弹簧长为l，截面积为S，杨氏模量为Y

  • 弹劲系数：
    

    

• 设两条弹簧的弹簧劲度：k1,k2

  • 串联：
    

    

  • 并联：
    

    

注意上式弹簧串并联的等效劲度系数和电阻串并联颠倒的。

谐振动的标准方程推导：

• 角频率：
  

  

• 推导过程：联立牛顿第二定律和胡克定律

• 变形得到位移和角频率的关系

• 然后直接代入上式，直接写：
  

  

练习:

一劲度系数为k的弹簧截成三等份，取其中两份并联，并挂上一质量为m的物体，求振动系统的频率。

答：（对对对，写屏幕上）

4. 旋转矢量:

• 参考圆（对应圆周）上的旋转矢量：
  • 角度： 相位 ? 矢量与x正轴的夹角
  • 半径： 振幅 ? 矢量的模长
  • 角速度： 角频率 ? 矢量旋转的角速度
  • 线速度：振动速度 ? 矢量端点的线速度（上负下正）

5. 简谐振动实例

单摆 （摆动角度很小：θ ≈ sinθ)

周期：

6. 简谐振动的能量

• 动能和势能：一个周期内势能和动能的平均值都为总能量的一半。
  

  

  • 动能：
    

    

  • 势能：
    

    

• 总机械能守恒，且总能量与振幅的平方成正比。

7. 简谐振动的合成

7.1 多频同向的两个振动合成

7.2 多个同频同向同振幅振动，相位差成等差且公差为δ

7.3 同向不同频的两个振动

• 合振动不是简谐振动
  • 一般情况下，合振动没有明显的周期性
  • 两个频率都比较大且差值很小时，则会出现明显的周期性
• 拍： 单位时间内合振幅加强或减弱的次数

7.4 垂直方向合成

• 同频： 一般为椭圆
• 周期或频率成简单的整数比: 合运动具有稳定封闭

8. 阻尼运动

8.1 阻尼振动：受到阻力作用的振动，也称减幅振动。

• 阻力系数： γ
  • 阻力与速度成正比（速度不大时）：
    

    

• 阻尼系数： β
  

  

8.2 阻尼振动表达式：

• 欠阻尼： 阻尼过小，也叫弱阻尼。

• 过阻尼： 阻尼过大

（对于非物理专业的人来说，选择题或许还能"认识"这条公式）

• 临界阻尼：
  

  

（深入阻尼的话，其实还有一些拓展，只是了解）

9. 受迫振动?共振

受迫振动： 在驱动力作用下系统的振动。

• 驱动力： 随时间变化（周期性）外力。（周期性常指余弦）
  

  

• 驱动力的频率ω：稳定时系统振动的频率，也是受迫振动的频率。

（物体受迫振动频率与振动物体的固有频率无关）

运动方程：

（其实就一个欠阻尼和一个简谐振动合成）

• 暂态项：欠阻尼那部分，会随时间衰减为零。
• 稳定项：简谐振动那部分，稳定时的方程。
• 振幅：
  

  

共振： 当驱动力频率等于振动系统的固有频率时，振幅取最大值时的现象。