码迷,mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

斐波那契数列

时间:2020-07-13 11:26:20      阅读:95      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:lse   空间复杂度   复杂度   clu   兔子   公式   turn   info   matrix   

斐波那契数列

 

起源

兔子问题:“假定一对大兔子每月能生一对小兔子,且每对新生的小兔子经过一个月可以长成一对大兔子,具备繁殖能力,如果不发生死亡,且每次均生下一雌一雄,问一年后共有多少对兔子?”

分析:第一个月兔子没有繁殖能力,所以还是一对;两个月后生下一对兔子,共有两对;三个月后,老兔子生下一对,小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对,以此类推,可以列出下表

技术图片

表中1,1,2,3,5,8,13.....构成一个序列,这个数列有一个特点就是前两项之和等于后一项

技术图片

数学函数定义:

技术图片


 

方法1(递归)

时间复杂度:O(N2),空间复杂度:O(N)

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    return n < 2 ? n : Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

 

方法2(循环)

时间复杂度:O(N),时间复杂度:O(1)

技术图片
long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    int result[2] = { 0, 1 };
    if (n < 2)
        return result[n];

    long long fibNOne = 1, fibNTwo = 0, fibN = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        fibN = fibNOne + fibNTwo;
        fibNTwo = fibNOne;
        fibNOne = fibN;
    }
    return fibN;
}
技术图片

 

方法3(通项公式)

时间复杂度:O(logn),空间复杂度:O(1)

技术图片

long long Fibonacci(unsigned int n)
{
    return (pow((1 + sqrt(5)) / 2, n) - pow((1 - sqrt(5)) / 2, n)) / sqrt(5);
}

 

方法4(矩阵乘法实现,最优解)

时间复杂度:O(logn),空间复杂度:O(1)

技术图片

技术图片

技术图片
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

//定义2×2矩阵;
struct Matrix2by2
{
    //构造函数
    Matrix2by2
    (
        long m_00,
        long m_01,
        long m_10,
        long m_11
    )
        :m00(m_00), m01(m_01), m10(m_10), m11(m_11)
    {
    }

    //数据成员
    long m00;
    long m01;
    long m10;
    long m11;
};

//定义2×2矩阵的乘法运算
Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1, const Matrix2by2& matrix2)
{
    Matrix2by2 matrix12(1, 1, 1, 0);
    matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;
    matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;
    matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;
    matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;
    return matrix12;

}


//定义2×2矩阵的幂运算
Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n)
{
    Matrix2by2 matrix(1, 1, 1, 0);
    if (n == 1)
    {
        matrix = Matrix2by2(1, 1, 1, 0);
    }
    else if (n % 2 == 0)
    {
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else if (n % 2 == 1)
    {
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1, 1, 1, 0));
    }
    return matrix;
}
//计算Fibnacci的第n项
long Fibonacci(unsigned int n)
{
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n == 1)
        return 1;

    Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n - 1);
    return fibMatrix.m00;

}

int main()
{
    cout << "Enter A Number:" << endl;
    unsigned int number;
    cin >> number;
    cout << Fibonacci(number) << endl;
    return 0;
}
技术图片

 

斐波那契数列的应用题:

1 青蛙跳台阶问题

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

提示:f(n) = f(n-1) + f(n-2)

扩展题:

一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级台阶......也可以跳上n级台阶。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

提示:f(n) = 2n-1

2 如果我们用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问8个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*8的大矩形,总共有多少种方法?

提示:f(8) = f(7) + f(6)

斐波那契数列

标签:lse   空间复杂度   复杂度   clu   兔子   公式   turn   info   matrix   

原文地址:https://www.cnblogs.com/xiaomaoyvtou/p/13291944.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!