标签：行列式 发送 导致 cat ber 使用 因此 次数 交换
行列式使用如下性质定义
1 单位矩阵行列式值为 1，
，对于任意单位矩阵均成立；
2 当矩阵交换一行后，行列式值改变符号，如置换矩阵的行列式值为 
（根据行交换次数决定）；
3 矩阵任意行线性变换导致行列式值产生线性变换：
，
；
使用以上三条基本性质，可以推导更多性质：
4 如果矩阵两行相等，行列式值为 0；
利用性质2，交换两相等行，行列式值改变符号，故行列式值必须为 0；
5 对矩阵任意两行做如下运算：行2 = 行2 - k * 行1，新矩阵行列式值不发生改变，
利用性质3，
；通过该性质，可以知道矩阵消元法仅改变矩阵行列式值的符号，
；
6 如果矩阵中存在一行全为 0， 矩阵行列式值为 0；
利用性质5，将全零行改写为任意非零行与全零行的和，得到两个全零行，故原矩阵行列式值为 0；
7 上三角矩阵或者下三角矩阵行列式值为对角元素之积，
；
1）利用性质5，使用消元法可以对非零元素进行消元处理，最终形成对角矩阵，其对角元素保持不变，即 det U = det D；
2）利用性质3，
;
3）利用性质1，由于 
，则上三角矩阵行列式值为为对角元素之积；
8 如果矩阵为奇异矩阵，行列式值为 0；如果矩阵为非奇异矩阵，行列式值不为 0；
当矩阵为奇异矩阵时，使用消元法至少一行全零行，性质5 表明 , 根据性质6，det U = 0；
当矩阵为非奇异矩阵时，使用消元法得到满秩，性质5 表明 ，根据性质7得 
；
9 矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积，
；使用该性质，有 
，
；
1）构造 
；
2）当 A 为单位矩阵时，
，满足性质1；
3）当交换矩阵 A 中任意两行，矩阵 AB 中对应两行也发送交换，d(A) 符号发生改变，满足性质2；
4）矩阵 A 中任意行线性变换，矩阵 AB 中对应行发生同样线性变换，d(A) 值发生同样线性变换，满足性质3；
5）综上，d(A) 满足性质1，2，3，故 
，；
10 矩阵转置后行列式不发生改变，
；
1）假定在不需行变换下可对矩阵进行 LU 分解，
；
2）利用性质9，
；
3）由于矩阵 L 为三角矩阵，且对角元素均为1，
；
4）由于矩阵 U 为三角矩阵，
，因此，
；
5）在矩阵 LU 分解时引入行变换，
, 由于 
，故可忽略行变换影响；
行列式计算
1）以3*3矩阵为例，使用行列式线性特性，将矩阵第一行进行分解：
；
2）对分解后的三项对矩阵第二行再次分解：
，
，
；
3）对分解后的九项第三行再次分解：
，
......
4）通过以上分解，3*3 矩阵的行列式被分解为 
个行列式的线性组合。在 27 个行列式中，有很大一部分值为 0，仅当各行元素不再同一列时，行列式值不为0。
通过交换矩阵行，所有矩阵可变为对角矩阵，故行列式值公式可表示为：
，
其中，
为 
的全排列，
取决于在该排列下将矩阵变为对角矩阵的行变换次数的奇偶性，
当行变换次数为奇数时，
；当行变换次数为偶数时，
。
参考资料 Linear Algebra And Its Applications Gilbert Strang
标签：行列式 发送 导致 cat ber 使用 因此 次数 交换
原文地址：https://www.cnblogs.com/luofeiju/p/13299047.html
