图论--图的基本概念

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1.图：

1.1无向图的定义：一个无向图G是一个有序的二元组<V,E>，其中V是一个非空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。E是无序积V&V的有穷多重子集，称作边集，其元素称作无向边，简称边。

注意：元素可以重复出现的集合称作多重集合。某元素重复出现的次数称作该元素的重复度。例如，在多重集合{a,a,b,b,b,c,d}中，a,b,c,d的重复度分别为2，3，1，1。从多重集合的角度考虑，无元素重复出现的集合是各元素重复度均为1的多重集。

1.2有向图的定义：一个有向图G是一个有序的二元组<V,E>，其中V是一个非空有穷集，称作顶点集，其元素称作顶点或结点。E是笛卡尔积V?V的有穷多重子集，称作边集，其元素为有向边，简称为边。

通常用图形来表示无向图和有向图：用小圆圈（或实心点）表示顶点，用顶点之间的连线表示无向边，用带箭头的连线表示有向边。

与1.1，1.2有关的一些概念和定义：

（1）无向图和有向图统称为图，但有时也把无向图简称作图。通常用G表示无向图，D表示有向图，有时也用G泛指图（无向的或有向的）。用V(G),E(G)分别表示G的顶点集和边集，|V(G)|,|E(G)|分别是G的顶点数和边数，有向图也有类似的符号。

（2）顶点数称作图的阶，n个顶点的图称作n阶图。

（3）一条边也没有的图称作零图，n阶零图记作N_n。1阶零图N₁称作平凡图。平凡图只有一个顶点，没有边。

（4）在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算中可能产生顶点集为空集的运算结果，为此规定顶点集为空集的图为空图，并将空图记作Ø。

（5）当用图形表示图时，如果给每一个顶点和每一条边指定一个符号（字母或数字，当然字母还可以带下标），则称这样的图为标定图，否则称作非标定图。

（6）将有向图的各条有向边改成无向边后所得到的无向图称作这个有向图的基图。

（7）若两个顶点v_i与v_j之间有一条边连接，则称这两个顶点相邻。若两条边至少有一个公共端点，则称这两条边相邻。

1.3在无向图中，如果关联一对顶点的无向边多余1条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。在有向图中，如果关联一对顶点的有向边多余1条，并且这些边的始点与终点相同（也就是它们的方向相同），则称这些边为平行边。含平行边的图称作多重图，既不含平行边也不含环的图称作简单图。

1.4设G=<V,E>为无向图，∀v∈V,称v作为边的端点的次数为v的度数，简称为度，记作dG(v)。在不发生混淆的时候，略去下标G，简记为d(v)。设D=<V,E>为有向图，∀v∈V，称v作为边的始点的次数为v的出度，己作d_D⁺(v)，简记为d⁺(v)。称v作为边的终点的次数为v的入度，记作d_D^-(v)，简记为d^-(v)。称d⁺(v)+d^-(v)为v的度数，己作d_D(v)，简记为d(v)。

注意：在无向图中，顶点v上的环以v作2次端点。在有向图中，顶点v上的环以v作一次始点和一次终点，共作2次端点。

另外，称度数为1的顶点为悬挂顶点，与它相关联的边称作悬挂边。度为偶数（奇数）的顶点称作偶度（奇度）顶点。

1.5设G=<V1,E1>,G₂=<V₂,E₂>为两个无向图（两个有向图），若存在双射函数f：V₁→V₂，使得∀v_i,v_j∈V₁,(v_i,v_j)∈E₁当且仅当(f(v_i),f(v_j))∈E₂(<v_i,v_j>∈E₁当且仅当<v_i,v_j>∈E₂)，并且(v_i,v_j)与(f(v_i),f(v_j))(<v_i,v_j>与<f(v_i),f(v_j)>的重数相同，则称G₁与G₂同构，记作G₁≅G₂。

注意：≅是等价关系，具有自反性、对称性和传递性。至今都没有找到判断两个图是否同构的便于检查的充分必要条件。显然阶数相同、边数相同、度数列相同等都是必要条件，但都不是充分条件。

1.6（1）设G为n阶无向简单图，若G中每个顶点均与其余的n-1个顶点相邻，则称G为n阶无向完全图，简称为n阶完全图，记作K_n(n≥1)。

     （2）设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点均与其余的n-1个顶点相邻，则称D为n阶有向完全图。

     （3）设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶无向完全图K_n，则称D为n阶竞赛图。

结论：n阶无向完全图边数为，n阶有向完全图边数为n(n-1)，n阶竞赛图的边数。

1.7设G=<V,E>，G^‘=<V^‘,E^‘>为两个图（同为无向图或同为有向图），若V^‘⊆V且E^’⊆E，则称G^‘为G的子图，G为G^‘的母图，记作G^‘⊆G。又若V^‘⊂V或E^’⊂E，则称G^‘为G的真子图。若V^‘=V，则称G^’为G的生成子图。

     设G=<V,E>，V₁⊂V且V₁≠∅，称以V₁为顶点集，以G中两个端点都在V₁中的边组成边集E₁的图为G的V₁导出的子图，记作G[V₁]。又设E₁⊂E且E₁≠∅，称以E₁为边集，以E₁中边关联的顶点为顶点集V₁的图为G的E₁导出的子图，记作G[E₁]。

1.8设G=<V,E>为n阶无向简单图，令E*={(u,v)|u∈VΛv∈VΛu≠vΛ(u,v)∉E}，称G*=<V,G*>为G的补图。若G≅G*，则称G为自补图。

2.握手定理：

2.1在任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍。

2.2在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数。

推论：任何图（无向图或有向图）中，奇度顶点的个数是偶数。

3.通路与回路：

3.1设G= (P,L)是图，v,v‘是G中两点。如果(1)v₀=v,v_n=v‘(2)v_i与v_i+1相邻，0≤i≤n。则由G中点组成的序列(v₀,v₁,....v_n) 称为从v到v‘的长度为n的路。这里 v, v‘是图G中未必不同的两点，v₀,v₁,....v_n中也允许有重复。

3.2设G = (P,L)是图，如果(1)v₀,....v_n-1互不相同(2)v₁,....v_n互不相同。则(v₀,v₁,.....v_n) 是 G 中从v₀到v_n的路， 称此路为简单路。显然，一条简单通路(v₀,v₁,.....v_n)，除v₀与v_n可以相同外，其他任意两点都不相同。

3.3设G=(P,L)是图，G中从点v到自身的长度不小千3的简单路，称为回路。显然，一个图G是连通的，当且仅当G中任意两点都是相连的。

参考资料：离散数学第二版（屈婉玲）  离散数学结构第二版（欧阳丹彤）

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