码迷,mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

OpenGL 六 - 3D数学基础 - 向量、矩阵及OpenGL中的变换

时间:2020-07-20 22:54:13      阅读:75      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:type   一个   loading   特定   tween   空间   必须   应用   很多   

关于矩阵和向量的相关知识,大家可能和我一样毕业后几乎就慢慢遗忘干净了。但是,既然学过,回忆起来其实并不太难。而且,即使没有学过,也并不影响我们对相关API的使用。当然基础知识的理解会帮助我们弄明白和更好的进行OpenGL的开发工作。

GLTools库中的Math3d,其中包含了大量的OpenGL 3D数学的数据类型,矩阵、向量的计算等等 API。

一、向量

1、何为向量

3D笛卡尔坐标系中,一个顶点就是 XYZ 坐标空间上的一个点的位置。XYZ 就是一个向量,数学思维中一个顶点就是一个向量。

技术图片

向量长度为1 的称为单位向量。向量长度 = 2√(x+ y+ z2)  即:向量的模。

把一个非单位向量缩放到 1 的过程,称为标准化。也叫做单位化向量。 -- 保留向量的方向

1.1、声明向量

M3DVector3f() -- 3维向量 (x,y,z)

M3DVector4f() -- 4维向量 (x,y,z,w) -- w: 缩放值,不缩放为:1

// 三维向量/四维向量的声明
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
// 声明一个三维向量 
M3DVector3f vVector;
// 声明一个四维向量并初始化一个四维向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
// 声明一个三分量顶点数组,例如生成一个三角形 
M3DVector3f vVerts[] = {
    -0.5f,0.0f,0.0f, 
    0.5f,0.0f,0.0f, 
    0.0f,0.5f,0.0f
}

2、向量的点乘(dot product)

两个向量之间可以进行加、减计算,使用率较高的是点乘,点乘只发生在两个向量之间。

2个单位向量 点乘 得到 一个标量 --> 标量:没有方向,只有数值 -->  一个 [-1,1] 的值,这个值其实就是两个向量间夹?的 cos 值 -- 余弦值。

如何求2个普通向量的夹角呢?单位化向量 --> x,y,z 分别 ? 向量的模(x/|xyz|, y/|xyz|, z/|xyz|) --> 与此普通向量方向相同的单位向量。

2.1、向量的点乘

// math3d 库中提供了了关于点乘的API
// 1.m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
// 2.m3dGetAngleBetweenVector3 可获取2个向量之间夹角的弧度值
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v)

3、向量的叉乘(cross product)

2个向量v1、v2叉乘可得到一个向量v3,向量v3垂直于向量v1、v2 --> 法线 --> 游戏场景中

叉乘不满足交换律,因为向量是有方向的,交换叉乘方向会不同。

技术图片

3.1、向量的叉乘

math3d 库中提供了关于叉乘的API
// 1.m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果 --> 一个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const M3DVector3f v);

二、矩阵(Matrix)

 为什么使用矩阵?

我们对一个物体进行移动旋转等操作时,物体的每个点都需要进行相应的移动旋转,简单的图形的平移可以对每个点进行x,y,z的计算,但是当物体移动很复杂,顶点又很多时,我们对每个点进行计算操作再赋值的工作量很大且易出错,更何况有旋转时我们不一定精确知道角度,此时,矩阵就解决了我们的这个问题。

技术图片 

矩阵一行 or 一列都是合理的,其也可以称为向量。

1、矩阵的声明

// 三维矩阵/四维矩阵的声明
typedef float M3DMatrix33f[9];
typedef float M3DMatrix44f[16];
在其他编程标准中, 许多矩阵库定义一个矩阵时使?的是二维数组;
OpenGL 的约定里,更多倾向使?一维数组,这样做的原因是: OpenGL 使?的是 Column-Major (以列为主)矩阵排序的约定。 --> 列矩阵 == 转置矩阵(数学中的)

技术图片

列优先矩阵

下图,这 16 个值表示空间中一个特定的位置,这4列中,每?列都是有4个元素组成的向量;

如果无们要转动一个一个物体,那么将此物体所有的顶点向量 每一个顶点依次乘以一个矩阵,让此物体所有的顶点都应用 相同的变换,从而得到物体转动后 所在的空间中的 位置和?向。

技术图片 

列向量的特别标注:矩阵的最后?行都为0,最后?个元素为0。 

单元矩阵:

// 单元矩阵初始化 ?式1
GLFloat m[] = {
           1,0,0,0, //X Column
           0,1,0,0, //Y Column
           0,0,1,0, //Z Column
           0,0,0,1 // Translation 
}
           
// 单元矩阵初始化 方式 2
M3DMatrix44f m = {
           1,0,0,0, //X Column
           0,1,0,0, //Y Column
           0,0,1,0, //Z Column
           0,0,0,1 // Translation 
} 
// 单元矩阵初始化 方式3
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m); 

2、矩阵的乘法

线性代数角度计算:线性代数中,为便于书写,坐标的 计算顺序都是从左到右的方式进行的。

变换后顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro

         顶点 * 模型矩阵 * 视图矩阵 * 投影矩阵  

技术图片

OpenGL的角度:因为OpenGL中的约定是列优先矩阵,所以计算如下:

变换后顶点向量 = M_pro * M_view * M_model *  V_local 

         投影矩阵 * 视图变换矩阵 * 模型矩阵 * 顶点  

技术图片 

矩阵的计算规则:左乘:代数中,用到两个矩阵相乘的时候,矩阵A×矩阵B,那么就称为 A左乘以B。

三、OpenGL中的变换 

技术图片

1、视图变换

2个视角的 视觉坐标系 

技术图片

 技术图片 

视图变换是应?到场景中的第?种变换, 它?来确定场景中的有利位置,在默认情况下, 透视投影中 位于原点(0,0,0),并沿着 z 轴负?向进?观察 (向显示器内部”看过去”)。当观察者点 位于原点(0,0,0) 时,就像在透视投影中?样。
视图变换将观察者放在你希望的任何位置,并允许在任何?向上观察场景, 确定视图变换就像 在场景中放置观察者并让它指向某?个?向;
从?局上考虑, 在应?任何其他模型变换之前, 必须先应?视图变换。这样做是因为, 对于视觉坐标系?言, 视图变换移动了当前的?作的坐标系; 后续的变化都会基于新调整的坐标系进?。 -- 《OpenGL超级宝典》

2、模型变换

?于操纵模型与其中某特定变换。这些变换通过 旋转,缩放,平移 将对象移动到需要的位置。模型变换的平移旋转缩放的不同顺序结果是不同的。

1.1 平移

void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, floata x, float y, float z);// M3DMatrix44f m 平移的结果

1.2 旋转

m3dRotationMatrix44(m3dDegToRad(45.0), floata x, float y, float z);// 有返回值

1.3 缩放

void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, floata xScale, float yScale, float zScale);// M3DMatrix44f m 缩放的结果

1.4 综合变换 -- 既缩放也平移

void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b); //M3DMatrix44f product放结果; const M3DMatrix44f a、b ,顺序不定,根据需求确定是 先平移还是先缩放。

3、投影变换 

技术图片

 

OpenGL 六 - 3D数学基础 - 向量、矩阵及OpenGL中的变换

标签:type   一个   loading   特定   tween   空间   必须   应用   很多   

原文地址:https://www.cnblogs.com/zhangying-domy/p/13344960.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!