标签：合并 有一个 else 简单 随机 这一 root 多个 key
性质：一个节点x左子树所有点的关键字都比x的关键字小，右子树所有点的关键字都比x的关键字大
“树堆” “Tree+Heap”
性质：每个点随机分配一个权值，使treap同时满足堆性质和二叉搜索树性质
复杂度：期望O(logn)
设每个节点的关键字是key，随机权值是rand
如果v是u的左儿子，则key[v]<key[u]
如果v是u的右儿子，则key[v]>key[u]
如果v是u的子节点，则rand[u]>rand[v]
treap维护权值的时候一般会把相同的权值放在同一个节点上
所以一个treap节点需要维护以下信息：
1.左右儿子
2.关键字
3.关键字出现次数
4.堆随机值
5.节点大小（即子树大小）
平衡二叉搜索树主要通过旋转来保持树的平衡，即保证复杂度
旋转有单旋和双旋，treap只需要单旋，这一点比较简单
void lturn(int &k)//treap的旋转
{
int t=tr[k].r;
tr[k].r=tr[t].l;
tr[t].l=k;
tr[t].size=tr[k].size;
update(k);
k=t;
}
void rturn(int &k)
{
int t=tr[k].l;
tr[k].l=tr[t].r;
tr[t].r=k;
tr[t].size=tr[k].size;
update(k);
k=t;
}
先给这个节点分配一个随机的堆权值
然后把这个节点按照BST的规则插入到一个叶子上:
从根节点开始，逐个判断当前节点的值与插入值的大小关系。如果插入值小于当前节点值，则递归至左儿子；大于则递归至右儿子；
然后通过旋转来调整，使得treap满足堆性质
void insert(int &k,int x)//treap的插入
{
if(!k)
{
size++;
k=size;
tr[k].size=tr[k].w=1;
tr[k].v=x;
tr[k].rnd=rand();
return ;
}
tr[k].size++;
if(tr[k].v==x)
tr[k].w++;
else if(x>tr[k].v)
{
insert(tr[k].r,x);
if(tr[tr[k].r].rnd<tr[k].rnd)
lturn(k);
}
else
{
insert(tr[k].l,x);
if(tr[tr[k].l].rnd<tr[k].rnd)
rturn(k);
}
}
和普通的BST删除一样：
如果插入值小于当前节点值，则递归至左儿子；大于则递归至右儿子
若当前节点数值的出现次数大于1，则减一（通常将同一个权值缩掉）
若当前节点数值的出现次数等于1：
若当前节点没有左儿子与右儿子，则直接删除该节点（置为0）；
若当前节点没有左儿子或右儿子，则将左儿子或右儿子替代该节点
若当前节点有左儿子与右儿子，则不断旋转当前节点，并走到当前节点新的对应位置，直到没有左儿子和右儿子为止。
void del(int &k,int x)//treap的删除
{
if(!k)
return;
if(tr[k]==x)
{
if(tr[k].w>1)//若不止相同值的个数有多个，删去一个
{
tr[k].w--;
tr[k].size--;
return ;
}
if(tr[k].l*tr[k].r==0)//有一个儿子为空
k=tr[k].l+tr[k].r;
else if(tr[tr[k].l].rnd<tr[tr[k].r].rnd)
rturn(k),del(k,x);
else
lturn(k),del(k,x);
}
else if(x>tr[k].v)
tr[k].size--,del(tr[k].r,x);
else
tr[k].size--,del(tr[k].l,x);
}
递归到叶子节点，一路维护信息即可
int query_rank(int k,int x)//treap的查询
{
if(!k)
return 0;
if(tr[k].v==x)
return tr[tr[k].l].size+1;
else if(x>tr[k].v)
return tr[tr[k].l].size+tr[k].w+query_rank(tr[k].r+x);
else
return query_rank(tr[k].l,x);
}
int query_num(int k,int x)
{
if(!k)
return 0;
if(x<=tr[tr[k].l].size)
return query_num(tr[k].l,x);
else if(x>tr[tr[k].l].size+tr[k].w)
return query_num(tr[k].r,x-tr[tr[k].l].size-tr[k].w);
else
return tr[k].v;
}
treap还可以支持维护序列时的分裂合并，这里不详细讲了
#include<iostream>
#include<cstdio>
struct data()
{
int l;
int r;
int v;
int size;
int rnd;
int w;
}tr[100005];
int n,size,root,ans;
void update(int k)//更新节点信息
{
tr[k].size=tr[tr[k].l].size+tr[tr[k].r].size+tr[k].w;
}
void lturn(int &k)//treap的旋转
{
int t=tr[k].r;
tr[k].r=tr[t].l;
tr[t].l=k;
tr[t].size=tr[k].size;
update(k);
k=t;
}
void rturn(int &k)
{
int t=tr[k].l;
tr[k].l=tr[t].r;
tr[t].r=k;
tr[t].size=tr[k].size;
update(k);
k=t;
}
void insert(int &k,int x)//treap的插入
{
if(!k)
{
size++;
k=size;
tr[k].size=tr[k].w=1;
tr[k].v=x;
tr[k].rnd=rand();
return ;
}
tr[k].size++;
if(tr[k].v==x)
tr[k].w++;
else if(x>tr[k].v)
{
insert(tr[k].r,x);
if(tr[tr[k].r].rnd<tr[k].rnd)
lturn(k);
}
else
{
insert(tr[k].l,x);
if(tr[tr[k].l].rnd<tr[k].rnd)
rturn(k);
}
}
void del(int &k,int x)//treap的删除
{
if(!k)
return;
if(tr[k]==x)
{
if(tr[k].w>1)//若不止相同值的个数有多个，删去一个
{
tr[k].w--;
tr[k].size--;
return ;
}
if(tr[k].l*tr[k].r==0)//有一个儿子为空
k=tr[k].l+tr[k].r;
else if(tr[tr[k].l].rnd<tr[tr[k].r].rnd)
rturn(k),del(k,x);
else
lturn(k),del(k,x);
}
else if(x>tr[k].v)
tr[k].size--,del(tr[k].r,x);
else
tr[k].size--,del(tr[k].l,x);
}
int query_rank(int k,int x)//treap的查询
{
if(!k)
return 0;
if(tr[k].v==x)
return tr[tr[k].l].size+1;
else if(x>tr[k].v)
return tr[tr[k].l].size+tr[k].w+query_rank(tr[k].r+x);
else
return query_rank(tr[k].l,x);
}
int query_num(int k,int x)
{
if(!k)
return 0;
if(x<=tr[tr[k].l].size)
return query_num(tr[k].l,x);
else if(x>tr[tr[k].l].size+tr[k].w)
return query_num(tr[k].r,x-tr[tr[k].l].size-tr[k].w);
else
return tr[k].v;
}标签：合并 有一个 else 简单 随机 这一 root 多个 key
原文地址：https://www.cnblogs.com/liumengliang/p/13357109.html
