标签：through double 它的 影响 不难 记录 read you 时间复杂度
所谓孪生素数，就是相差为2的素数对，例如3和5,11和13。如果仅仅是100以内的孪生素数，相信大部分人只用数就能数出来，毕竟100以内只有25个素数。但是如果是1000以内呢？100000以内呢？如果像题目中说的一样，一亿以内呢？
硬着头皮数显然不行了，要解决这个问题，我们要依赖于编程。
要求孪生素数的对数，首先要找到孪生素数，要找到孪生素数，首先要找到素数。C++中有许多找素数的方法，比如基础的试除法，其代码如下：
bool prime(int n) { if(n<2) return false; for(int i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) return false; } return true; }
这段代码比较基础，也很容易理解。
完整程序如下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int n,cnt; //cnt记录孪生素数对数 bool prime(int n) //试除法筛素数 { if(n<2) return false; for(int i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) return false; } return true; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=2;i<=n;i++) { if(prime(i)&&prime(i+2)) //判断是否满足孪生素数定义 { cnt++; } } printf("%d\n",cnt);return 0; }
一切都很顺利的进行了，我们不禁暗想：
然而，当输入“100000000”时，奇怪的事情发生了，答案久久没有出现在小黑板上，只有光标在闪动着寂寞的白光，宛若孤独而无人陪伴的我。
这令人疑惑，于是我关闭了窗口，重新运行，并输入了较小的数。答案几乎是在敲回车后的一刹那出现在小黑板上。
这说明程序没有问题，输入“100000000”答案迟迟不出现，只有一个可能——程序在运算结果。
既然如此，那我们能做的就只有等待。
终于，在不知多久之后，小黑板上终于出现了我们所希望看到的东西——440312。
虽然得到了结果，但比起这个，我们更想知道它到底算了多久，于是我在程序中加入了从百度抄来的计时程序，如下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<time.h> //头文件 using namespace std; clock_t start,finish; //定义始终 double duration; //定义时间 int n,cnt; bool prime(int n) { if(n<2) return false; for(int i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) return false; } return true; } int main() { scanf("%d",&n); start=clock(); //在程序开始运行时开始计时，注意，若将这句话加在输入之前，会把输入数据的时间记入，影响结果 for(int i=2;i<=n-2;i++) { if(prime(i)&&prime(i+2)) { cnt++; } } finish=clock(); //结束计时 duration=(double)(finish - start)/CLOCKS_PER_SEC; //计算时间 printf( "%f seconds\n",duration); //输出时间 printf("%d\n",cnt);return 0; }
当输入“10000”，运算时间为0.002000s，输入“1000000”，运算时间为0.310000s，两次运算时间并没有差很多。
但输入“100000000”，在又一次漫长的等待后，小黑板上出现了惊人的149.797000s，是计算1000000以内的孪生素数对数所用时间的约483倍。
这可怕的数字令我们感到恐惧，若是数据范围再大一些，试除法岂不是要算一年!
看来数据太大，用试除法求解是行不通了，我们需要的是效率更高的算法。
提到高效算法，聪明的你一定能想到Eratosthenes筛选法，翻译成人话就是埃氏筛。
埃氏筛的基本思想：素数的倍数一定不是素数。先假设所有数都是素数，从小到大枚举每一个素数x，把x的倍数都标记为非素数。当从小到大扫描到一个数x时，若它尚未被标记，则它不能被2~x-1之间的任何数整除，该数就是素数。（对整数1特殊处理）
埃氏筛代码如下：
void primes(int n) { memset(v,0,sizeof(v)); //合数标记 for(int i=2;i<=n;i++) { if(v[i]) continue; cout<<i<<endl; //i是素数 for(int j=i;j<=n/i;j++) { v[i*j]=1; } }
}
埃氏筛的时间复杂度是O（nloglogn），效率非常接近线性，是一种常用的素数筛法。然而，埃氏筛会对合数进行重复标记，即使是优化之后，其根本原因是算法不能唯一确定产生合数的方式。据此，我们在生成一个需要标记的合数时，每次只向现有的数乘上一个质因子，并且让它是这个合数的最小质因子。这相当于让合数的质因子从大到小累积。具体来说，我们采用如下的筛法：
int v[maxn],prime[maxn]; void primes (int n) //用线性筛找素数 { memset(v,0,sizeof(v)); //最小质因子 m=0; //素数数量 for(int i=2;i<=n;i++) { if(!v[i]) //i是质数 { v[i]=i; prime[++m]=i; } //给当前的数i乘上一个质因子 for(int j=1;j<=m;j++) { //i有比prime[j]更小的质因子，或者超出n的范围 if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) break; //prime[j]是合数i*prime[j]的最小质因子 v[i*prime[j]]=prime[j]; } } }
这便是线性筛。每个合数只会被它的最小质因子筛一次，时间复杂度为O（N）。
筛法介绍完了，求孪生素数对的程序也就不难写了，只需要判断与一个素数相差2的数是否为素数即可。这个任务交给读者自行完成。
下面我简要说一下测评结果。
这是使用线性筛求对数并输出孪生素数对的运行结果，总共跑了173.793000s，若仅仅输出对数，只需要1.410000s，比试除法快了近107倍。
埃氏筛也不敢示弱，跑出了178.203000s和3.105000s的不俗成绩。
（顺便一提，用试除法求孪生素数对，如果要输出孪生素数是什么，它需要跑约328s）
相比于基础的试除法，这两种算法的效率都高得没话说。
正所谓，永恒与刹那间，只隔着我的算法。既然有算法能几秒内解决问题，那为什么不用呢？多节约出几分钟，不就能多听几首银临的歌了吗。
所以，下次有个要求素数的题，尝试用埃氏筛和线性筛吧。
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