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LCA之倍增简单讲解
LCA代指Least Common Ancestor，翻译过来就是最近公共祖先
如下图，x和y的最近公共祖先就是二号节点
那么，如何来求这个最近公共祖先呢？
1.暴力算法
让x和y一步一步向上爬，一直爬到相遇为止
x: 4->3->2
y: 6->5->2
可是这样暴力实在是太慢了，我们要想办法优化它
于是就有了倍增求解LCA
2.倍增
倍增的意思就是按二的此方递增，比如： 1->2->4->8->16......
在x与y向上爬找祖先时，我们不用每次向上爬一个，而是向上爬2^n个，这样程序的效率会高很多
怎么倍增呢？我们需要从大到小跳，比如： 32->16->8->4...... 为什么不是从小到大？应为可能会跳过，出现“悔棋”的情况
举个例子：
我们要求x(5号节点)与y(10号节点)的 LCA
倍增的时候，我们发现y的深度比x的深度要小，于是现将y跳到8号节点，使他们深度一样：
这个时候，x和y的深度就相同了，于是我们按倍增的方法一起去找LCA
我们知道n（10）之内最大的二的次方是8，于是我们向上跳8个单位，发现跳过了。
于是我们将8/2变成4，还是跳过了。
再将4/2变成2，跳到了0号节点。
虽然这时跳到了LCA,但是如果直接if（x==y）就确定的话，程序无法判断是刚好跳到了还是跳过了，应为跳过了x也等于y
于是我们需要刚好跳到LCA的儿子上，然后判断if（x的爸爸==y的爸爸）来确定LCA
由于每一个数都可以分解为几个2^n的和（不信自己试），所以他们一定会跳到LCA的儿子上
于是我们就找到了LCA啦！
3.预处理
明白了基本思路之后，我们就开始写程序了
可是在写LCA之前，我们还得进行预处理
要处理些什么呢？
1.每一个点的深度，以便到时候判断
2.每一个点2^i级的祖先，以便到时候倍增跳
于是我们用一个dep数组来记录每一个点的深度，再用一个fa[i][j]表示节点i的2^j级祖先
dep数组的更新就是他爸爸的深度+1，但是如何更新fa数组呢？
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]
这个式子是什么意思呢?
fa[i][j]就是i的2^j级祖先，那fa[i][j-1]就是i的2^（j-1）级祖先。
又因为我们知道2^(j-1)+2^(j-1)=2^j，i的2^（j-1）级祖先的2^（j-1）级祖先 就是i的2^j级祖先。
这就是这句话的意思。代码如下：
void dfs(int x,int father) //x为当前节点，father为他的爸爸 { dep[x]=dep[father]+1; //x的深度是他父亲的深度+1 fa[x][0]=father; //2^0是1，x向上一个的祖先就是他爸爸 for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++) //1<<i就是2^i，当2^i小于x的深度时，枚举他的祖先 { fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; //上面说过的fa数组的更新
} for(int i=0;i<e[x].size();i++) //枚举与他相邻的边（我用的是vector存图） { if(e[x][i]!=father) //如果不是他爸爸 { dfs(e[x][i],x); //继续dfs } } return; }
4.LCA主函数
过程在上面已经讲过了，直接上代码：
int lca(int u,int v) //u,v就相当于先讲的x和y { int temp; //temp是两个点的深度度差 if(dep[u]<dep[v]) //我们默认u的深度大一些，否则将u与v交换 swap(u,v); temp=dep[u]-dep[v]; //计算深度差 for(int i=0;(1<<i)<=temp;i++) //将u的深度变得与v相同，还是使用倍增的思想 { if((1<<i)&temp) //这个操作就相当于将深度差变成几个2^n的和，判断2^i是不是其中一个 { u=fa[u][i]; //将u跳到他祖先的位置 } } if(u==v) //如果u刚好等于v,即他们已经变成了同一个点 { return u; //返回这个点的值,就是LCA } for(int i=(int)(log(n)/log(2));i>=0;i--) //(int)(log(n)/log(2))就是n以内最大的2的次方，从最大的开始倍增 { if(fa[u][i]!=fa[v][i]) //如果他们的爸爸不相同，即没有找到LCA { u=fa[u][i]; v=fa[v][i]; //一起倍增 } } return fa[u][0]; //返回他们的爸爸，即是LCA }
5.完整代码
下面是模板题洛谷p3379的代码：
#include <cmath> #include <cstdio> #include <vector> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn=500005; vector <int> e[maxn]; int n,m,s,dep[maxn],fa[maxn][21]; int read() //快读 { int ans=0,flag=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) { if(ch==‘-‘) flag=-1; ch=getchar(); } while(isdigit(ch)) { ans=ans*10+ch-‘0‘; ch=getchar(); } return ans*flag; } void dfs(int x,int father) //x为当前节点，father为他的爸爸 { dep[x]=dep[father]+1; //x的深度是他父亲的深度+1 fa[x][0]=father; //2^0是1，x向上一个的祖先就是他爸爸 for(int i=1;(1<<i)<=dep[x];i++) //1<<i就是2^i，当2^i小于x的深度时，枚举他的祖先 { fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; //上面说过的fa数组的更新 } for(int i=0;i<e[x].size();i++) //枚举与他相邻的边（我用的是vector存图） { if(e[x][i]!=father) //如果不是他爸爸 { dfs(e[x][i],x); //继续dfs } } return; } int lca(int u,int v) //u,v就相当于先讲的x和y { int temp; //temp是两个点的深度度差 if(dep[u]<dep[v]) //我们默认u的深度大一些，否则将u与v交换 swap(u,v); temp=dep[u]-dep[v]; //计算深度差 for(int i=0;(1<<i)<=temp;i++) //将u的深度变得与v相同，还是使用倍增的思想 { if((1<<i)&temp) //这个操作就相当于将深度差变成几个2^n的和，判断2^i是不是其中一个 { u=fa[u][i]; //将u跳到他祖先的位置 } } if(u==v) //如果u刚好等于v,即他们已经变成了同一个点 { return u; //返回这个点的值,就是LCA } for(int i=(int)(log(n)/log(2));i>=0;i--) //(int)(log(n)/log(2))就是n以内最大的2的次方，从最大的开始倍增 { if(fa[u][i]!=fa[v][i]) //如果他们的爸爸不相同，即没有找到LCA { u=fa[u][i]; v=fa[v][i]; //一起倍增 } } return fa[u][0]; //返回他们的爸爸，即是LCA } int main() { n=read(); m=read(); s=read(); for(int i=1;i<=n-1;i++) { int x=read(),y=read(); e[x].push_back(y); e[y].push_back(x); //vector存图 } dfs(s,0); //预处理 for(int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(); int ans=lca(x,y); printf("%d\n",ans); } return 0; }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/what-the-heck/p/13397981.html
