案例分析|主成分分析之一二三+案例

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⑴高等代数/线性代数：线性方程组、特征值和特征向量

⑵统计学：方差分析等

2.主成分分析思想：

主成分分析是利用降维的思想，在损失较少信息的前提下，用几个综合指标来代替之前多个指标的一种多元统计方法。我们把这些综合指标称为主成分，其中每一个主成分是原来变量的线性组合 ，并且各个主成分之间互不相关 。

3.主成分分析的几点要求

⑴每一个主成分都是原始变量的线性组合。

⑵主成分的数目要求远远小于原始变量的数目。

⑶主成分保留了原始变量绝大多数的信息。

⑷各个主成分之间互不相关。

4.主成分分析的理论框架

选取主成分的几点选择方法

⑴累积贡献率达到85%。

⑵观察碎石图，当趋势变的平稳，则说明选取该主成分的数量比较合适。

⑶选取特征值大于1的主成分。

主成分的几条重要的理论性质

⑴第 k个主成分 Y(k)与原始变量 的相关系数 称为因子负荷量，这个因子负荷量在软件操作中可以显示出来。如果我们用协方差矩阵来求解主成分，那么 ，因此，我们在解释主成分和某个变量的重要性的时候，要根据因子负荷量而不是简单的变换系数 ；我们用相关矩阵来求解主成分，则 (一般当变量的数据数量级差别比较大，我们要进行标准化处理，就会用到用相关矩阵来求解主成分)。

性质2和3在附件例子来讲述。

5.主成分的几个很重要的用途

⑴进行分类

我们可以通过主成分分析得到主成分得分，通过计算出总得分来进行分类，或者将前两个主成分得分放到四象限图中来进行分类。

⑵进行排名

通过主成分分析得到主成分得分，通过一定的手段计算出总得分来进行对样本的排名。

⑶ 主成分回归

由于在实际问题中，我们尽可能多的选取变量，这样会导致多重共线性问题的出现。主成分分析可以用少数几个综合变量来代替原始的变量，很有效的消除多重共线性。

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