标签：修改 load sub 重要 get 路径 区间 avl树 简单的
上一篇文章只是简单地认识下二叉树，并未提到它的缺陷。数据结构的好坏取决于时间复杂度，由于每次操作（插入、删除、查找）需要与节点比较来选择进入到左子树还是右子树，也就是说每次比较都会排除一些可能（选择左右其中一侧），当然了这是对于随机均匀分布的二叉树来说，它的时间复杂度是O（log2n），但是对于只有单向的左子树或右子树来说，它的时间复杂度就变成了O(n)，每次操作都会从头到尾所有节点比较一遍。总的来说，二叉树的时间复杂度区间是在O(log2n) ~ O(n)之间，这完全取决于二叉树的结构！如图所示：
随着单向二叉树越来越长，所消耗的时间也会越来越多，这已经跟单链表没有什么区别了。因此，为了解决单链表的情况，将时间复杂度降低至O（log2n），衍生出了平衡二叉树。
通过上面的分析看出，只要将节点均匀分布在两侧即可完成目的，而这也正是平衡二叉树所要做的事，因此它要求任何节点的左右子树的高度相差不超过1，实际上就是计算同一层中最大的高度值与最小的高度值相差不超过1，解释下高度的含义：从叶子节点开始自底向上到指定节点的最长距离，叶子节点的高度为0，空树的高度为-1。对于AVL树来说，它只是平衡二叉树的其中一种，节点的左右子树高度差被称为平衡因子，如图所示：
图中左侧为平衡二叉树，每一层的高度差值都不会超过1，图中右侧中出现高度差值超过1，故非平衡二叉树。仔细观察下，图中左右两个的二叉树无非就差了一个节点6，可以将这个多余的节点看成是新插入的节点，是该操作导致了二叉树失去平衡，更严格来说，只要是修改了树的结构，都有可能导致平衡失调，而能修改树结构的操作只有删除与插入。那么该如何才能让它继续保持平衡呢？很容易想到，只要稍微移动下树的结构就能使之平衡，这样子的操作被称为旋转，分为单旋转和双旋转。在想一想，图中右侧中左子树相对偏高，若是旋转的话应该将左子树的高度降低，相应的右子树也会增高，这样子就达到平衡了。
上面提到只有删除与插入会导致二叉树不平衡，这里就举插入来介绍平衡二叉树的几种旋转方式。插入的话无非就以下几种方式：
左左型LL（右旋转）。该方式导致的不平衡是因为左子树上的节点增加了，所以旋转的话就应当将左子树的高度降低，而旋转的节点是插入的节点到根节点的路径上的节点都有可能旋转（这个很在编写代码中很关键），也就是说有可能旋转多次才能达到平衡，如图所示操作：
图中可见是节点7，我们知道向右旋转会导致左子树的高度降低，没错，旋转正确的话是使二叉树达到平衡。我们将节点7移动到根节点位置上，节点5、6紧随其后，而节点8变成了节点的右子树，节点9还是节点8的右子树，简单来说，随着某个节点的移动，其他节点也会相应的移动，这样子才能达到平衡。不知道你们发现没有，旋转过后，不仅符合二叉树的规则，同时也达到平衡，只不过根节点变化了，不过这丝毫不影响！这是比较简单的左左型LL，在来看另外一种情况：
此种情况比上面多了一个节点，不过这不是关键。我们发现节点X应该是比节点7大，而比节点8小，也就是说它可以当作节点7的右子树，也可以当作节点8的左子树，而随着节点7移动到根节点上，它已经有了节点5与节点8两个子节点，容不下第三个节点了，也就是说它已经做不了节点7的右子树了，那么这个时候节点X只能考虑去走另外一套方案了，让我称为节点8的左子树，所以最终旋转的结果如上图所示。理解了右旋转，左旋转也是一样的道理。
右右型RR（左旋转）。该方式导致的不平衡是因为右子树上的节点增加了，所以旋转的话就应当将右子树的高度降低，如图所示：
图中可见是节点9导致了二叉树的不平衡，那么应该左旋转来降低右子树的高度。将节点9移动到根节点位置上，节点10、11紧随其后，而节点8变成了节点9的左子树，重点在于节点X，发现节点X比节点8大，而比节点9小，随着节点9的移动，它已经做不了节点9的左子树了，所以结果它成了节点8的右子树。跟上面的右旋转有点类似！
左右型LR（左右旋转）。该方式的结构与上面的左左型稍微有点区别，因为最终插入的节点是落在了右子树上，所以首先应该先降低右子树的高度，应该左旋转，不过你会发现，随着右子树的移动，左子树的高度最终增加了，二叉树还是不平衡，不过不用担心，事情是往好的方向发展，你发现没有，左旋转后的结构与上面的左左型是一样的！也就是说只需要在向右旋转一次就能达到平衡，总共旋转了两次，所以称为左右旋转！如图所示：
我们知道若是直接移动节点7，最终还是不平衡，而咱们说从节点插入的地方到根节点的路径上都有可能需要旋转，那只有节点X了，那么应该通过左旋转来降低高度，不过随着节点X的移动，最终发现二叉树还是不平衡，不过你也应该发现了，这结构和左左型很像，所以最终还需要右旋转来达到平衡！
右左型RL（右左旋转）。该方式的结构与上面的右右型有些区别，最终插入的节点是落在了左子树上，所以首先应该先降低左子树的高度，那么应该右旋转，同理，随着旋转一次后发现还是不平衡，不过结构倒是很像右右型，接下来的操作就跟右右型一样了，就不做多阐述了！如图所示：
这几种类型不难理解，只要记住哪边高度多大就旋转哪边，需要注意的事可能要旋转多次，这也很简单，发现旋转后还是不平衡在继续旋转即可。
掌握概念后，最重要的就是实战，我已经把代码写了一遍，不过中途是参考了别人的文章，这边也只是放出了代码图片，有兴趣的同学可以去github上观摩-avl平衡二叉树代码设计与实现
平衡二叉树中的旋转较为复杂，最好能够结合场景去分析推敲，加油吧！
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原文地址：https://www.cnblogs.com/zlia/p/14161984.html
