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如下图，已知：AB=AC，∠A=∠DCA=20°，∠ABE=30°。求：∠CDE。
解法一：（walls老师提供）
在AB边上取点F使得FC=BC，连接FC、FE。如下图所示：
由AB=AC以及∠A=20°，知∠ABC=∠ACB=80°。
由FC=BC知，∠BFC=∠FBC=80°，∠FCB=180°-80°-80°=20°。于是
∠ECF=∠ACB-∠FCB=80°-20°=60°
由∠EBC=∠ABC-∠ABE=80°-30°=50°，以及∠BEC=∠ABE+∠A=30°+20°=50°，知CE=BC=FC。
于是CEF为正三角形。
由∠CDF=∠DCA+∠A==20°+20°=40°，以及∠DCF=∠ECF-∠DCA=60°-20°=40°，知DF=FC=FE。
即有∠FDE=∠FED。而∠DFE=180°-∠BFC-∠CFE=180°-80°-60°=40°，于是
∠FDE=(180°-40°)/2=70°
∠CDE=∠FDE-∠BDC=70°-40°=30°
解法二：由题设知：∠BDC=∠A+∠DCA=40°，CD=AD<AB=AC。
于是在CA上一定有点F，使得CF=CD，连接DF，并延长至点G使得DG=AD，连接AG，如下图所示：
CDF为等腰三角形，且∠DCA=20°，可知∠CDF=80°，∠ADF=180°-∠BDC-∠CDF=60°
于是ADG为正三角形。
考察△BDC和△FAG，易知∠BDC=∠FAG=40°，∠BCD=∠BCA-∠DCA=80°-20°=60°=∠G，再由CD=AD=AG，可知
△BDC和△FAG全等，于是BC=FG。
另外，由∠BEC=∠ABE+∠BAE=30°+20°=50°，∠CBE=∠CBD-∠ABE=80°-30°=50°，可知BC=CE。
于是CE=FG。
由FD=DG-FG，FE=CF-CE，CF=CD=AD=DG，可知FD=FE，于是∠FDE=∠FED。
再由∠DFC=80°，可知∠FDE=(180°-80°)/2=50°。
于是∠CDE=180°-60°-50°-40°=30°。
附言：
最初是在《遇见数学》公众号一篇文章里看到这个题的，里面介绍这个题是著名的几何难题：汤普森问题，我尝试了一阵没做出来。然后看了文章里提供的两个解法之后受到启发才有了上面的解法二。而解法一是walls老师是在完全不知情的情况下独立做出来的，相比解法二以及公众号文章里的两个解法，这个解法显得更加自然，举重若轻。
https://mp.weixin.qq.com/s/LuQb8uCYXgZPcqEevCQw5Q
这是那篇文章的URL。看里面的解法序号可以推测《几何明珠》那本书里至少提供了这题的九种解法。这里的两个解法有可能也在那本书里。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/readalps/p/14399787.html
