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数分（1）期中总结

复习大纲

1. 集合与映射（交并补、单射、双射、满射）；
2. 数列（确界原理、极限运算、柯西收敛准则、Stolz定理、单调确界定理、子列与主列关系）；
3. 函数（极限运算、Heine定理（联系数列与函数）、柯西收敛准则、连续性、零点存在定理、介值定理、闭区间套定理、有限开覆盖定理、一致连续性）；
4. 导数与微分（导数运算、多阶导数运算、隐函数求导、参数方程求（多阶）导、导数存在及连续性）；
5. 微分中值定理（函数配凑、费马引理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）；
6. 级数入门（泰勒展开）（基本展开、Peano余项、Maclaurin展开、Lagrange余项（类似中值定理））；

知识点细分

一、集合与映射

二、数列

1. ε-δ语言证明极限；

2. 确界定理；

3. 上确界与下确界的证明；

4. 单调有界定理（单调性+有界---->极限存在）；

5. （类）调和级数收敛性证明；

   \[\begin{align*} &\ast p>1 \\&S_n=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+\cdots+\frac{1}{n^p} \\&\leq 1+(\frac{1}{2^p}+\frac{1}{2^p})+(\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{4^p})+\cdots \\ &+\underbrace{\frac{1}{(2^n)^p}+\frac{1}{(2^n)^p}+\frac{1}{(2^n)^p}+\cdots+\frac{1}{(2^n)^p}} \\&\ast\ast p<=1 \\&需先证明调和级数发散 \end{align*} \]

6. e与\((1+\frac{1}{n})^{n}\) 以及\((1+\frac{1}{n})^{n+1}\)的关系；

7. Stolz定理对”0/0“数列极限的求解；

8. 闭区间套定理；

   \[\begin{align*} & I_n=[a_n,b_n],n\in N^* \\&(1)\quad I_1\supset I_2\supset I_3\supset I_4\supset\cdots\supset I_{n-1}\supset I_n\supset\cdots \\&(2)\quad \left|I_n\right|=b_n-a_n\rightarrow 0\quad(n\rightarrow\infty) \\&\exists!\xi\in[a_n,b_n] \quad s.t.\xi\in\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \end{align*} \]

9. 有限开覆盖定理；

10. 列紧性定理；

11. 柯西收敛准则；

三、函数

1. ε-δ语言证明极限；

2. 极限性质：唯一性、保号性、局部有界性；

3. 夹逼定理；

4. 海涅定理（Heine定理）

   \[\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)存在的充要条件是对任意以x_0为极限的数列\{x_n\}，其相应的\{f(x_n)\}收敛。 \]

5. 柯西收敛定理；

6. 连续函数的定义，以及对求函数极限的影响；

7. 函数的间断点（第一类间断点：跳跃间断点（左右极限不一致）、可去间断点（左右极限一致，但该点函数不一致）；第二类间断点：无定义、趋向无穷）；

8. 无穷大与无穷小的阶（要会算阶数）；

9. 等价无穷小（加减慎用）;

   \[\begin{align*} & x\rightarrow0 \\& \sin{x}\thicksim x &&\arcsin{x}\thicksim x, \\& 1-\cos{x}\thicksim x &&\ln(1+x)\thicksim x, \\&\tan{x}\thicksim x &&\arctan{x}\thicksim x, \\&e^x-1\thicksim x &&(1+x)^\lambda-1\thicksim \lambda x \end{align*} \]

10. 一致连续性 （极其重要，一定要会多种证明方法）:

    已知方法：1 定义法：配凑出|f(x₁)-f(x₂)| < M|x₁-x₂|的形式；

    ? 2 拉格朗日法：用拉格朗日中值定理（前提是知道导函数有界）；

    ? 3 数列法（证不一致连续）：构造满足\(\lim_{n\rightarrow\infty}|s_n-k_n|=0\)的数列，但\(\lim_{n\rightarrow\infty}|f(s_n)-f(k_n)|\neq0\)，即可证明\(f(x)\)在定义域上不一致连续。

    ? 4 分区间法（康托定理）：将\([a,+\infty)\)拆分为\([a,M+1]\)与\([M,+\infty)\)，前者区间可以用康托定理，后者可以使用拉格朗日中值定理或柯西收敛准则来证明一致连续，前提是\(\lim_{x\rightarrow+\infty}{f(x)}\)存在。

11. 连续函数闭区间有界定理、开区间一致连续有界定理、最值存在定理；

12. 零点存在定理、介值定理（用于构造函数来证明：\(\exists\xi\in[a,b]~~~~s.t.F(\xi)=\xi\)（一般是原函数））

13. 连续函数在闭区间上一定一致连续（康托定理）；

四、导数与微分

1. 导数的基本定义（初等函数导函数证明）；

2. 单点导数存在以及导函数连续的差异；

3. 复合函数、隐函数、反函数、参数函数（二阶导）、极坐标的求导运算（证明）；

4. 求高阶导数（莱布尼兹公式）；

5. 函数图像性质（单调性、凹凸性、极值点（驻点，是\(x\)坐标）、拐点（是一个坐标点））；

6. 洛必达法则

7. Darboux定理（达克定理）

   \(f在区间I上可微，则f‘具有介值性\)

五、微分中值定理

1. 费马引理；

2. 罗尔（Rolle）中值定理；

3. 拉格朗日（Lagrange）中值定理；

4. 柯西（Cauchy）中值定理；

5. 函数的微分（性质、应用）

六、泰勒展开

1. 泰勒展开的基本方式；
2. Peano余项；

3. Lagrange余项；

做题总结

1. 求极限的基本顺序：直接求\(\longrightarrow\)夹逼定理、Stolz定理、洛必达法则、等价替换\(\longrightarrow\)微分中值定理\(\longrightarrow\)泰勒展开
2. 微分中值定理
3. 泰勒展开

北航数学分析（1）期中复习小结（个人整理，仅供参考！）

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