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「图论」第2章 最小生成树课堂过关

时间：2021-04-19 16:02:22      阅读：0      评论：0      收藏：0      [点我收藏+]

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「图论」第2章 最小生成树课堂过关

A. 【例题1】繁忙都市

题目

技术图片

代码

prim

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 310
#define M 200010
struct Heap {
#define max_(_ , __) ((_) < (__) ? (_) : (__))
	int siz;
	int a[M * 2] , b[M * 2];
	bool ty;
	inline void swap_(int x , int y) {
		int tmp;
		tmp = a[y] , a[y] = a[x] , a[x] = tmp;
		tmp = b[y] , b[y] = b[x] , b[x] = tmp;
	}
	void clear() {
		siz = 0 , ty = 0;
		memset(a , 0 , sizeof(a));
		memset(b , 0 , sizeof(b));
	}
	inline void push(int dat , int dat2) {
		a[++siz] = dat;
		b[siz] = dat2;
		int p = siz;
		while(p > 1 && (!(a[p >> 1] < a[p]) ^ ty))
			swap_(p >> 1 , p) , p >>= 1;
	}
	inline void pop() {
		swap_(1 , siz);
		--siz;
		int p = 1 , tmp;
		while(p * 2 <= siz && (!(a[p] < a[tmp = ( p * 2 + 1 > siz ? p * 2 : (a[p * 2] < a[p * 2 + 1] ^ ty ? p * 2 : p * 2 + 1) ) ] ) ^ ty))
			swap_(tmp , p) , p = tmp;
	}
	inline int top_A() {
		return siz == 0 ? 0 : a[1];
	}
	inline int top_B() {
		return siz == 0 ? 0 : b[1];
	}
	inline bool empty() {
		return siz == 0;
	}
} h;

int read() {
	int re = 0;
	char c = getchar();
	while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘)
		c = getchar();
	while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘)
		re = (re << 1) + (re << 3) + c - ‘0‘,
		c = getchar();
	return re;
}
int nxt[M] , val[M] , to[M];
int head[N];
bool vis[N];
inline void addedge(int u , int v , int value) {
	static int cnt = 0;
	++cnt;
	val[cnt] = value , to[cnt] = v , nxt[cnt] = head[u] , head[u] = cnt;
}

int n , m;
int ans;
int main() {
	n = read() , m = read();
	for(int i = 1 ; i <= m ; i++) {
		int u , v , value;
		u = read() , v = read() , value = read();
		addedge(u , v , value);
		addedge(v , u , value);
	}

	for(int i = head[1] ; i ; i = nxt[i])
		h.push(val[i] , to[i]);
	vis[1] = true;
	for(int j = 2 ; j <= n ; j++) {
		while(vis[h.top_B()] && !h.empty())
			h.pop();
		if(h.empty())	break;
		int u = h.top_B();
		if(h.top_A() > ans)
			ans = h.top_A();
		h.pop();
		
		vis[u] = true;
		for(int i = head[u] ; i ; i = nxt[i]) {
			if(!vis[to[i]]) {
				h.push(val[i] , to[i]);
			}
		}
	}
	printf("%d %d" , n - 1 , ans);
	return 0;
}

Kruskal

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 310
#define M 100010
int read() {
	int re = 0;
	char c = getchar();
	while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘)
		c = getchar();
	while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘)
		re = (re << 1) + (re << 3) + c - ‘0‘,
		c = getchar();
	return re;
}
struct ednode{
	int u , v , val;
}ed[M];
bool cmp(ednode a , ednode b) {
	return a.val < b.val;
}
int fa[N];
int findroot(int x) {
	return fa[x] == x ? x : (fa[x] = findroot(fa[x]));
}
void uni(int x , int y) {
	fa[findroot(x)] = findroot(y);
}

int n , m;
int ans;
int main() {
	n = read() , m = read();
	for(int i = 1 ; i <= m ; i++)
		ed[i].u = read() , ed[i].v = read() , ed[i].val = read();

	sort(ed + 1 , ed + m + 1 , cmp);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		fa[i] = i;
	for(int i = 1 ; i <= m ; i++) {
		if(findroot(ed[i].u) != findroot(ed[i].v)) {
			uni(ed[i].u , ed[i].v);
			if(ed[i].val > ans)
				ans = ed[i].val;
		}
	}
	printf("%d %d" , n - 1 , ans);
	return 0;
}

B. 【例题2】新的开始

题目

技术图片

思路

想象一个原点,它到\(i\)点的距离就是\(i\)建发电站的费用,其余连边不变,从那个原点开始跑一边最小生成树即可

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 310
#define M N * N
struct Heap {
#define max_(_ , __) ((_) < (__) ? (_) : (__))
	int siz;
	int a[M * 2] , b[M * 2];
	bool ty;
	inline void swap_(int x , int y) {
		int tmp;
		tmp = a[y] , a[y] = a[x] , a[x] = tmp;
		tmp = b[y] , b[y] = b[x] , b[x] = tmp;
	}
	void clear() {
		siz = 0 , ty = 0;
		memset(a , 0 , sizeof(a));
		memset(b , 0 , sizeof(b));
	}
	inline void push(int dat , int dat2) {
		a[++siz] = dat;
		b[siz] = dat2;
		int p = siz;
		while(p > 1 && (!(a[p >> 1] < a[p]) ^ ty))
			swap_(p >> 1 , p) , p >>= 1;
	}
	inline void pop() {
		swap_(1 , siz);
		--siz;
		int p = 1 , tmp;
		while(p * 2 <= siz && (!(a[p] < a[tmp = ( p * 2 + 1 > siz ? p * 2 : (a[p * 2] < a[p * 2 + 1] ^ ty ? p * 2 : p * 2 + 1) ) ] ) ^ ty))
			swap_(tmp , p) , p = tmp;
	}
	inline int top_A() {
		return siz == 0 ? 0 : a[1];
	}
	inline int top_B() {
		return siz == 0 ? 0 : b[1];
	}
	inline bool empty() {
		return siz == 0;
	}
} h;

int read() {
	int re = 0;
	char c = getchar();
	while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘)
		c = getchar();
	while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘)
		re = (re << 1) + (re << 3) + c - ‘0‘,
		c = getchar();
	return re;
}
int n , m;
int ans;
int map[N][N];
bool vis[N];
int main() {
	n = read();
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		h.push(read() , i);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		for(int j = 1 ; j <= n ; j++) {
			map[i][j] = read();
		}

	for(int j = 1 ; j <= n ; j++) {
		while(vis[h.top_B()] && !h.empty())
			h.pop();
		if(h.empty())	break;
		int u = h.top_B();
		ans += h.top_A();
		h.pop();

		vis[u] = true;
		for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
			if(!vis[i])
				h.push(map[i][u] , i);
		}
	}
	printf("%d" , ans);
	return 0;
}

C. 【例题3】公路建设

题目

技术图片

思路

题目的意思是给定\(m\)条边,依次加入一开始没有边的图\(G\)中,若当前加入的边不能使\(G\)强连通,输出"0",否则,输出图\(G\)的最小生成树

我们把边依次加入一条链中,按插入排序的思想维护链的有序性,跑一次Kruskal就可以求出当前的最小生成树

时间复杂度\(O(n\cdot m)\)

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define N 510
#define M 2010
using namespace std;
int read() {
	int re = 0;
	char c = getchar();
	while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘)
		c = getchar();
	while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘)
		re = (re << 1) + (re << 3) + c - ‘0‘,
		c = getchar();
	return re;
}
struct ednode {
	int x , y , val , nxt;
}ed[M];
int head = 1;
void insert(int x , int y , int val) {
	static int cnt = 0;
	++cnt;
	ed[cnt].x = x , ed[cnt].y = y , ed[cnt].val = val;
	if(cnt == 1)	return;
	int p = head;
	if(val < ed[p].val) {
		ed[cnt].nxt = head , head = cnt;
		return;
	}
	for( ; ed[p].nxt != 0 ; p = ed[p].nxt)
		if(ed[p].val <= val && val <= ed[ed[p].nxt].val) {
			ed[cnt].nxt = ed[p].nxt , ed[p].nxt = cnt;
			return;
		}
	ed[p].nxt = cnt;
	ed[cnt].nxt = 0;
	return;
}

int n , m;
int fa[N];
int findroot(int x) {
	return fa[x] == x ? x : (fa[x] = findroot(fa[x]));
}
void uni(int x , int y) {
	fa[findroot(x)] = findroot(y);
}


int main() {
	n = read() , m = read();
	for(int i = 1 ; i <= m ; i++) {
		int u = read() , v = read() , val = read();
		insert(u , v , val);
		
		for(int j = 1 ; j <= n ; j++)
			fa[j] = j;
			
		int ans = 0;
		for(int j = head ; j ; j = ed[j].nxt)
			if(findroot(ed[j].x) != findroot(ed[j].y)) {
				uni(ed[j].x , ed[j].y);
				ans += ed[j].val;
			}
		int ty = true;
		int sta = findroot(1);
		for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
			if(findroot(i) != sta) {
				ty = false;
				break;
			}
		if(!ty)
			puts("0");
		else
			printf("%.1f\n" , ans * 0.5);
	}
	
	return 0;
}

D. 【例题4】构造完全图

题目

技术图片

思路

50分

有一个贪心:如果\(u\)到\(v\)路径上最大边权为\(val\),则\(u\),\(v\)之间连一条边权小于等于\(val\)的边,原最小生成树会改变,否则不会改变.具体的证明可以从边权及边的数量出发,这里不再赘述

因此,直接枚举每个点,各跑一边深搜遍历整棵树即可,时间复杂度\(O(n^2)\)

100分

从数据规模可以看到,\(n\)去到\(10^5\),即边的数量可以达到\(10^{10}\),一条一条算肯定是不行的.

考虑对于最小生成树的每一条边\(ed_i\),它连接两个连通块\(T_1\),\(T_2\),大小为\(val\),它一定是连接\(T_1\),\(T_2\)所有边中最小的,设\(T_1\)中有\(siz_1\)个节点,\(T_2\)中有\(siz_2\)个节点,则除了\(ed_i\),一共有\(siz_1 \cdot siz_2-1\)条,每条(除\(ed_i\)外)的最小权值为\(val+1\)

更具体地,代码解释吧

代码

50分

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
#define N 100010
using namespace std;
int read() {
	int re = 0;
	char c = getchar();
	while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘)
		c = getchar();
	while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘)
		re = (re << 1) + (re << 3) + c - ‘0‘,
		c = getchar();
	return re;
}

struct ednode {
	int to , val , nxt;
}ed[N * 2];
int head[N];
inline void addedge(int x , int y , int v) {
	static int cnt = 0;
	++cnt;
	ed[cnt].to = y , ed[cnt].val = v , ed[cnt].nxt = head[x] , head[x] = cnt;
	return;
}

int n;
ll ans;

void dfs(int x , int maxv , int fa , int dep) {
	if(dep > 1)			ans += maxv + 1;
	for(int i = head[x] ; i ; i = ed[i].nxt) {
		if(ed[i].to == fa)	continue;
		dfs(ed[i].to , maxv > ed[i].val ? maxv : ed[i].val , x , dep + 1);
	}
}

int main() {
	n = read();
	for(int i = 1 ; i < n ; i++) {
		int u = read() , v = read() , val;
		ans += (val = read()) * 2;
		addedge(u , v , val);
		addedge(v , u , val);
	}
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
		dfs(i , -1 , i , 0);
	}
	cout << ans / 2;
	return 0;
}

100分

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int read() {
	int re = 0;
	char c = getchar();
	while(c < ‘0‘ || c > ‘9‘)
		c = getchar();
	while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘)
		re = (re << 1) + (re << 3) + c - ‘0‘,
		c = getchar();
	return re;
}

struct ednode{
	int u , v , val;
}ed[N * 2];
bool cmp(ednode a , ednode b) {
	return a.val < b.val;
}

int fa[N] , siz[N];
int findroot(int x) {
	return x == fa[x] ? x : (fa[x] = findroot(fa[x]));
}
int n;
long long ans;
int main() {
	n = read();
	for(int i = 1 ; i < n ; i++)
		ed[i].u = read() , ed[i].v = read() , ans += (ed[i].val = read());
		
	sort(ed + 1 , ed + n , cmp);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		fa[i] = i , siz[i] = 1;
	
	for(int i = 1 ; i < n ; i++) {
		int u = findroot(ed[i].u) , v = findroot(ed[i].v);
		if(u != v) {
			ans += (long long)(siz[u] * siz[v] - 1) * (ed[i].val + 1);
			fa[u] = v;
			siz[v] += siz[u];
		}
	}
	cout << ans;
	return 0;
}

随机数据生成

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int random(int r , int l = 1) {
	return (long long) rand() * rand() % (r - l + 1) + l; 
}
pair <int,int> ed[1000010];
int dict[1000010];//用于打乱结点编号,有些有向图不适用
int main() {
	unsigned seed;
	cin >> seed;
	seed *= time(0);
	srand(seed);//外界输入种子
	
	int n = random(1e4 , 5);
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
		dict[i] = i;
	random_shuffle(dict + 1 , dict + n + 1);
	for(int i = 1 ; i < n ; i++) {
		ed[i].first = random(i);
		ed[i].second = i + 1;
	}
	printf("%d\n" , n);
	
	random_shuffle(ed + 1 , ed + n);//随机打乱
	for(int i = 1 ;i < n ; i++)
		printf("%d %d %d\n" , dict[ed[i].first] , dict[ed[i].second] , random(1e5));
	
	return 0;
}

「图论」第2章 最小生成树课堂过关

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原文地址：https://www.cnblogs.com/dream1024/p/14670990.html
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