标签：越界 特殊情况 class 相等 影响 快速排序 第一步 ons 快排
算法证明使用算法导论里的循环不变式方法
快排属于分治算法，分治算法都有三步：
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
//递归的终止情况
if(l >= r) return;
//第一步：分成子问题
int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];
while(i < j)
{
do i++; while(q[i] < x);
do j--; while(q[j] > x);
if(i < j) swap(q[i], q[j]);
}
//第二步：递归处理子问题
quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
//第三步：子问题合并.快排这一步不需要操作，但归并排序的核心在这一步骤
}
复制代码
while循环结束后，q[l..j] <= x,q[j+1..r] >= x
注:q[l..j] <= x意为q[l],q[l+1]...q[j-1],q[j]的所有元素都<= x
循环不变式：q[l..i] <= x q[j..r] >= x
循环开始之前i = l - 1, j = r + 1
则q[l..i],q[j..r]为空，循环不变式显然成立
假设某轮循环开始前循环不变式成立，即q[l..i] <= x, q[j..r] >= x
执行循环体
do i++; while(q[i] < x);
会使得 q[l..i-1] <= x, q[i] >= x
do j--; while(q[j] > x);
会使得 q[j+1..r] >= x, q[j] <= x
if(i < j) swap(q[i], q[j]);
会使得 q[l..i] <= x, q[j..r] >= x
复制代码
所以，i和j更新之后，下一次循环开始之前，循环不变式依然成立
注意:由于使用do-while循环,所以i和j一定会!!!自增!!!,使得循环会继续下去,但是如果采用while循环(i和j的初始化做出对应的变更),i和j在特殊情况下不自增的话,循环就会卡死
例如:
while(q[i] < x) i++;
while(q[j] > x) j--;
当q[i]和q[j]都为 x 时, i 和 j 都不会更新,导致 while 陷入死循环
复制代码
终止
循环结束时，i >= j
正常情况下，按照循环不变式，我们应该会觉得结果已经显然了
因为i >= j，q[l..i] <= x, q[j..r] >= x
所以按照j来划分的话，q[l..j] <= x, q[j+1..r] >= x是显然的
可是，最后一轮循环有点特殊，因为最后一轮循环的if语句一定不会执行
因为最后一轮循环一定满足 i >= j,不然不会跳出while循环的，所以if语句一定不执行
正确分析：
由于最后一轮的if语句一定不执行
所以，只能保证i >= j和q[l..i-1] <= x, q[i] >= x和q[j+1..r] >= x, q[j] <= x
由q[l..i-1] <= x，i >= j(i-1 >= j-1) 和 q[j] <= x 可以得到 q[l..j] <= x
又因为q[j+1..r] >= x 所以，q[l..j] <= x,q[j+1..r] >= x,问题得证
总结:只有最后一轮循环结束时，循环不变式不成立，其余的循环都是成立的 但最终要求的问题还是解决了
注意:循环结束时要记得检查是否存在数组越界/无限递归的情况
所以还需要证明 j 最终的取值范围是[l..r-1](即不存在n划分成0和n的无限递归情况),分析过程在分析5
快排属于分治算法，最怕的就是 n分成0和n，或 n分成n和0,这会造成无限划分
j为划分时，x不能选q[r] (若以i为划分,则x不能选q[l])假设 x = q[r]
关键句子quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);
由于j的最小值是l,所以q[j+1..r]不会造成无限划分
但q[l..j](即quick_sort(q, l, j))却可能造成无限划分，因为j可能为r
举例来说，若x选为q[r]，数组中q[l..r-1] < x,
那么这一轮循环结束时i = r, j = r，显然会造成无限划分
do i++; while(q[i] < x)和do j--; while(q[j] > x)不能用q[i] <= x 和 q[j] >= x
假设q[l..r]全相等
则执行完do i++; while(q[i] <= x);之后，i会自增到r+1
然后继续执行q[i] <= x 判断条件，造成数组下标越界(但这貌似不会报错)
并且如果之后的q[i] <= x (此时i > r) 条件也不幸成立，
就会造成一直循环下去(亲身实验)，造成内存超限(Memory Limit Exceeded)
if(i < j) swap(q[i], q[j])能否使用 i <= j
可以使用if(i <= j) swap(q[i], q[j]);
因为 i = j 时，交换一下q[i],q[j] 无影响，因为马上就会跳出循环了
最后一句能否改用quick_sort(q, l, j-1), quick_sort(q, j, r)作为划分(用i做划分时也是同样的道理,)
不能
根据之前的证明，最后一轮循环可以得到这些结论
j <= i 和 q[l..i-1] <= x, q[i] >= x 和 q[j+1..r] >= x, q[j] <= x
所以，q[l..j-1] <= x 是显然成立的，
但quick_sort(q, j, r)中的q[j] 却是 q[j] <= x，这不符合快排的要求
另外一点，注意quick_sort(q, l, j-1), quick_sort(q, j, r)可能会造成无线划分
当x选为q[l]时会造成无限划分，报错为(MLE),
如果手动改为 x = q[r],可以避免无限划分
但是上面所说的q[j] <= x 的问题依然不能解决，这会造成 WA (Wrong Answer)
j的取值范围为[l..r-1]
证明:
假设 j 最终的值为 r ,说明只有一轮循环(两轮的话 j 至少会自减两次)
说明q[r] <= x (因为要跳出do-while循环)
说明 i >= r (while循环的结束条件), i 为 r 或 r + 1(必不可能成立)
说明 i 自增到了 r , 说明 q[r] >= x 和 q[l..r-1] < x,
得出 q[r] = x 和 q[l..r-1] < x 的结论,但这与 x = q[l + r >> 1]矛盾
反证法得出 j < r
假设 j 可能小于 l 说明 q[l..r] > x ,矛盾
反证法得出 j >= l
所以 j的取值范围为[l..r-1],不会造成无限划分和数组越界
while循环的结束条件能不能改成 i <= j顺带一提用i做划分时的模板
void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
if(l >= r) return;
int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r + 1 >> 1];//注意是向上取整,因为向下取整可能使得x取到q[l]
while(i < j)
{
do i++; while(q[i] < x);
do j--; while(q[j] > x);
if(i < j) swap(q[i], q[j]);
}
quick_sort(q, l, i - 1), quick_sort(q, i, r);//不用q[l..i],q[i+1..r]划分的道理和分析4中j的情况一样
}
#include<bits/stdc++.h> //万能头文件
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n;
int q[N];
void quick_sort(int q[], int l, int r) {
if (l >= r) {
return;
}
int x = q[l];
int i = l - 1;
int j = r + 1;
while (i < j) {
do i++; while (q[i] < x);
do j--; while (q[j] > x);
if (i < j) {
swap(q[i], q[j]);
}
}
quick_sort(q, l , j);
quick_sort(q, j + 1, r);
}
int main() {
//scanf的输入要比cin的输入快
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &q[i]);
quick_sort(q, 0, n - 1);
for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);
return 0;
}
标签：越界 特殊情况 class 相等 影响 快速排序 第一步 ons 快排
原文地址：https://www.cnblogs.com/mrmrwjk/p/14747495.html
