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What is a heap？

首先介绍优先队列：

Heap（堆）是对优先队列的一种实现

每个元素都有对应的key值，且对于大顶堆（Max Heap）而言，其每个元素的key值都 ≥ 子元素的key值

堆可以可视化为一棵完全二叉树：

堆对应的树具有如下性质：（这里层数从0开始）

别忘了之前讲过的完全二叉树的性质：n个结点的完全二叉树高度为 lgn

Max_heapify

max_heapify() 只针对具有 “简单错位” 的堆进行调整，single violation是这里特别强调的一个前提条件，详见下

Pre_Condition

注意这里有个重要假设：

• 当对以 i 为根的子树进行 max_heapify() 操作时，结点 i 的左右子树均已经是大顶堆 ！
• 因此问题在于： 结点 i 并不是最大值却被放在了 level (lgn - 1) 层上（假设叶子为 level 0，从下往上数）。

那么 max_heapify() 的职责就很显然了：将最上面的结点 i 下沉到正确的位置。

显然影响运行时长的因素在于 i 子树的层数，假设 i 子树深为 lgn，那么max_heapify() 的时间复杂度为O(lgn)

Build_Max_Heap(A)

我们已经知道 max_heapify() 严格要求了左右子树必须为大顶堆，那么对于一个完全乱序的数组A，显然直接调用max_heapify(A)是不允许的，这时要如何将其转换为大顶堆呢？

Algo

Build_Max_Heap(A)将通过多次调用 max_heapify() 将输入A 转换成一个大顶堆：

由于叶子结点没有child，其本身已经是一个大顶堆，满足 single violation

所以我们可以跳过最下层的叶子，从 level 1 开始调用 max_heapify()

（level 1 为叶子结点之上的一层，即倒数第二层）

wait a moment：这里解释一下为什么要从下往上处理：

前面提到了使用 max_heapify() 的前提条件是左右子树已经为大顶堆，因此在倒数第二层调用显然是符合要求的（因为level 1中所有结点的左右子树均已经为大顶堆）

那么在这一层处理完毕后，所有“从level 1长出的子树均被调整为了大顶堆”，也就满足了接下来在level 2中调用max_heapify()的前置条件，以此类推...

接下来继续 Build_Max_Heap(A)的算法思路

我们已经解释了为何循环要从下至上处理，

即 for n/2 downto 1：

不难看出，对于level 1的所有结点，最坏情况下的调整时间也只是O(1)

随着level向上增高，对level L层的结点进行max_heapify操作需要O(L)时间

最上层只有一个根结点，对它的调整需要O(lgn) ---(Tips: 复杂度源于)

将各层所需调整时间加起来可以得到整个算法的时间复杂度为O(n) ，步骤如下：

（括号内为一个收敛级数且收敛为常数）

Build-Max-Heap Demo

给出一个乱序数组 A，通过 Build_Max_Heap(A)将其转化为大顶堆的步骤分解如下：

Heap_Sort

思路步骤：

1. 首先将A转化为大顶堆
2. 找到最大值，显然为 A[1]
3. 将最大值与末尾元素交换，并将A[1]从堆中舍弃（数组length--）
4. 对新的大小为 n-1的堆调用max_heapify方法将其调整为大顶堆（因为上一步中已经舍弃了最大值A[1]，此时显然满足single violation的前提条件）
5. 回到步骤2重复操作直到堆减为空，排序完毕

时间复杂度：

整个算法的开头需要调用一次建立Build-Max-Heap(A) ， --- O(n)

此后开始n次迭代： (第一次迭代确定了最大值，第二次确定次大值， ... ，n个数排序完毕需要迭代n次)

每次迭代包括一次swap操作和max_heapify() ---O(lgn)

因此总的时间复杂度为 O(n + nlgn) = O(nlgn)

Heap & Heap Sort

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原文地址：https://www.cnblogs.com/potofsalt/p/14773949.html