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鞅、停时定理

鞅，用来描述一种 公平、连续 随机过程。首先来看定义，这里只考虑离散意义下的鞅。

称随机过程 \(X=\{X_n,n\ge 0\}\) 为 鞅，若

1. \(E(|X_n|)\le\infty\)
2. \(E(X_{n+1}|X_0,\cdots,X_n)=E(X_n)\)

称随机过程 \(Y=\{Y_n,n\ge 0\}\) 是关于 \(X\) 的 鞅，若

1. \(Y_n\) 仅仅与 \(X_0\cdots X_n\) 有关；
2. \(E(Y_{n+1}|X_0\cdots X_n)=E(Y_n)\)

直观来看，鞅就是一个随机过程：在已知前面所有 \(s\) 时刻之前的观测值，\(s\) 之后的期望与 \(s\) 时刻的期望相等。鞅描述了一种连续期望下的一种不动性。

随机时刻：设取值为 \(\N\cup\{\infty\}\) 的随机变量 \(T\)，及随机过程 \(\{X_n,n\ge 0\}\)，若 \(\forall n\ge 0\)，事件 \(\{T=n\}\) 的示性函数 \(I_{\{T=n\}}\) 仅仅是关于 \(X_0,\cdots,X_n\) 的函数，则称 \(T\) 是随机过程 \(\{X_n,n\ge 0\}\) 的随机时刻。

停时：随机时刻 \(T\) 在不仅满足定义，并且满足 \(P(T<\infty)=1\)，则称 \(T\) 是随机过程 \(\{X_n,n\ge 0\}\) 的停时。

停止过程：若 \(T\) 是对过程 \(\{X_n,n\ge 0\}\) 的一个随机时刻，称 \(X_{n\land T}\) 为停止过程，其中 \(a\land b=\min\{a,b\}\)。

不难证明停止过程也是关于 \(\{X_n,n\ge 0\}\) 的 鞅。

停时定理：假设 \(M=\{M_n,n\ge 0\}\) 是关于 \(X=\{X_n,n\ge 0\}\) 的鞅，\(T\) 是停时，\(P(T<\infty)=1\)，有 \(E(M_{n\land T})=E(M_0)\).

若满足下列三个条件之一：

1. \(|M_{n\land T}|\) 几乎处处有界 \(\Leftrightarrow |M_{n\land T}|\le K\)；（\(\rm bounded~in~space\)）
2. \(T\) 几乎有限 \(\Leftrightarrow P(T\le K)=1\)；（\(\rm bounded~in~time\)）
3. \(E(T)<\infty\)，并且 \(E(|M_{n+1}-M_n|\mid X_0\cdots X_n)\le K\)；（\(\rm bounded~in~increments\)）

则有 \(E(M_T)=E(M_0)\) 成立。

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原文地址：https://www.cnblogs.com/ac-evil/p/14823488.html