插入排序

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基本思路

插入排序的基本思想可以参考我们整理扑克牌时的情况，当我们刚拿到洗好的牌，我们会按照顺序将每一张牌插入到其他已经有序的牌中。

对应到插入排序，我们可以定义一个操作insertion: 假设我们正在处理第n个元素，首先要比较第n个元素和第n-1个元素，若是arr[n]小于arr[n-1]，则交换这两个元素的位置。继续下一轮比较，此时的n已经变成了n-1，我们比较n-1和n-2这两个位置的元素... 依次反复，直到遇到一个比它小的元素，这一趟排序就算结束了。

要保证insertion操作对于第n个元素能够成功排序，唯一的要求是子数组arr[0,1...n-1]是已经有序的，即当n遇到一个比它小的元素min时，确保了min前面的元素都是比小于等于min。

以大小为n的数组arr为例说明：

• 第一次循环，要进行排序的是第二个元素，很明显子数组为arr[0]只有一个元素，是有序的，设n=1，进行insertion操作，即可把数组arr[0,1]排序。

• 第二次循环，要进行排序的是第三个元素，此时上一步的操作中，已经把数组arr[0,1]排序了。设n=2，进行insertion操作，即可把数组arr[0,1,2]排序。

• 第i次循环，要进行排序的是第i个元素，此时上一步的操作中，已经把数组arr[0,1...,i-1]排序了。设n=i，进行insertion操作，即可把数组arr[0,1,...,i-1,i]排序。

PHP代码

function selection_sort(array &$arr)
{
   $n = count($arr);
   for ($i = 1; $i < $n; $i++) {
     for ($j = $i; $j > 0 && less($arr, $j, $j - 1); $j--) {
      	exch($arr, $j - 1, $j);
    }
  }
}

function less(array $arr, int $i, int $j)
{
    return $arr[$i] < $arr[$j];
}


function exch(array &$arr, int $i, int $j)
{
    list($arr[$i], $arr[$j]) = [$arr[$j], $arr[$i]];
}


$arr = [];
for ($i = 0; $i < 10; $i++) {
    $arr[$i] = rand(0, 10000);
}
print_r($arr);
selection_sort($arr);
print_r($arr);

性能

空间复杂度: \(O(1)\)

平均时间复杂度: \(O(n^2)\)

插入排序没有使用额外的存储空间，是原地排序算法，所以空间复杂度为：\(O(1)\)。

与选择排序不同，插入排序所需的时间取决于数组元素的初始顺序:

• 最好的情况：输入的数组已经有序，插入排序只需要n-1次比较和0次交换。

• 最坏的情况：输入的数组是逆序，每一次遍历都需要比较n-i次并交换n-i次元素，总计：n-1 + n-2 + .... + 2 + 1 = \({N(N-1) \over 2}\)次比较和n-1 + n-2 + .... + 2 + 1 = \({N(N-1) \over 2}\)次交换。

• 平均的情况: 数组的每个元素都可能向前移动半个子数组的长度，总计：(n-1 + n-2 + .... + 2 + 1)/2 = \({N(N-1) \over 4}\)次比较和(n-1 + n-2 + .... + 2 + 1)/2 = \({N(N-1) \over 4}\)次交换。时间复杂度为: \(O(n^2)\)

插入排序

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原文地址：https://www.cnblogs.com/tianjiankun/p/14878755.html