# 函数与极限

## 函数

$y = f(x)$ ,x是函数f的自变量，y是因变量

## 函数极限

$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = A$ 当$x$无限接近于$x_0$时，$f(x)$无限接近于常数A。

$x$趋于$x_0$有三种写法：

$$\begin{cases} x \rightarrow x_0\ x \rightarrow x_0^+\ x \rightarrow x_0^- \end{cases}$$

$x \rightarrow \infty$也有三种写法：

$$\begin{cases} x \rightarrow \infty\ x \rightarrow +\infty\ x \rightarrow -\infty \end{cases}$$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
x = np.linspace(-100, 100, 100)
y = 1/x

ax.plot(x, y)
ax.spines[‘left‘].set_position(‘zero‘)
ax.spines[‘right‘].set_color(‘none‘)
ax.spines[‘bottom‘].set_position(‘zero‘)
ax.spines[‘top‘].set_color(‘none‘)

# remove the ticks from the top and right edges
ax.xaxis.set_ticks_position(‘bottom‘)
ax.yaxis.set_ticks_position(‘left‘)

plt.axhline(0,color = ‘red‘,linestyle = ‘--‘,alpha = 0.5)

plt.show()


## 无穷小与无穷大

### 无穷小

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
y = np.sin(x)

ax.plot(x, y)
ax.spines[‘left‘].set_position(‘zero‘)
ax.spines[‘right‘].set_color(‘none‘)
ax.spines[‘bottom‘].set_position(‘zero‘)
ax.spines[‘top‘].set_color(‘none‘)

# remove the ticks from the top and right edges
ax.xaxis.set_ticks_position(‘bottom‘)
ax.yaxis.set_ticks_position(‘left‘)

#plt.axhline(0,color = ‘red‘,linestyle = ‘--‘,alpha = 0.5)

plt.show()


## 极限的四则运算

1. $\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$
2. $\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$
3. $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中$B$不等于$0$
• 两个无穷小的和是无穷小
• 有界函数和无穷小的乘积是无穷小

## 常见函数的极限

1.求 $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$

$\lim\limits_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim\limits_{x \to 1} (x+1) = 2$

2.$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$
3.$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
4.$\lim\limits_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{x})^x=e$ 或 $\lim\limits_{x \to 0} (1+ x)^{\frac{1}{x}}=e$

## 函数连续

$$讨论 f(x) = \begin{cases} x + 2, x \geq 0\ x - 2, x < 0 \end{cases} 在 x = 0处的连续性$$

$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x+2)$ = 2

$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (x-2)$ = -2

# 导数

1. 指的是该点的变化率，可能是变大（导数为正），也可能变小（导数为负）
2. 从几何意义上，是该点切线的斜率

1. 就是如果自变量x继续增加，因变量y的变化。
2. 如果导数大于0，则y变大；如果导数小于0，则y变小。
3. 自变量x沿着导数地方向变化，就是沿着因变量y增加的方向变化

## 可导和连续

$x_5$处斜率不存在，不可导。

## 导数的四则运算

1. $(u \pm v)^\prime = u^\prime \pm v^\prime$
2. $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$ (第一项求导乘第二项 加 第一项不动乘第二项的导数)
3. $(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv\prime}{v2}$ ($v$ ≠ 0)

1. $(Cu)^\prime = Cu^\prime$ ($C$个$u\prime$相加)
2. $(uvw)^\prime = u^\prime vw + uv^\prime w + uvw^\prime$ (第一个函数求导二三函数不动 加第二个函数求导一三不动 加 一二不动第三个函数求导)

$(\tan x)^\prime = \Big( \frac{\sin x}{\cos x} \Big)^\prime = \frac{(\sin x)^\prime \cos x - \sin x (\cos x)^\prime}{\cos ^2 x}$
$\quad\quad\quad = \frac{\cos ^2 x + \sin ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

## 复合函数求导法

$$\frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$

$$\frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

## 高阶导数

$n-1$阶导数的导数称为函数$f(x)$的$n$阶导数，记作：$y{(n)},f{(n)}(x),\frac{dny}{dxn}$。

• $\frac{d2y}{dx2} = \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})$
• $y{\prime}{\prime},y{\prime}{\prime}{\prime},y{(4)},...,y^{(n)}$

## 偏导数

### 偏导数的概念

$\Delta_x z = f(x_0 + \Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)$,

### 偏导数的几何意义

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 \cdot 1 + 3\cdot 2 = 8$
$\frac{\partial z}{\partial y} = 3 \cdot 1 + 2\cdot 2 = 7$

# 微分

$dy = f^\prime (x) dx \Longleftrightarrow \frac{dy}{dx} = f^\prime(x)$

## 中值定理

### 罗尔定理

1. 在[a,b]上连续；
2. 在(a,b)内可导；
3. $f(a) = f(b)$；

(找不到高清图，只有这种了，$c$就是$\xi$)

### 拉格朗日中值定理

$f^\prime (\xi) = k_{AB} = \frac{f(b) - f(a)}{b -a}$

1. 在[a,b]上连续；
2. 在(a,b)内可导；

$f^\prime (\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b -a}$ 或 $f(b) - f(a) = f^\prime (\xi) (b - a)$

$f(t)$在[0,x]上满足朗格朗日中值定理的条件，那么根据定理，存在点$\xi(0 < \xi <x)$，满足
$f(x) - f(0) = f^\prime(\xi)(x - 0)$ ①

$f^\prime(t) = \frac{1}{1+t}$

$\frac{x}{1+x} < \frac{x}{1+ \xi} < \frac{x}{1+0}$ (分母越大，分数值越小)

### 柯西中值定理

$$\begin{cases} X = F(x)\ Y = f(x) \end{cases} (a \leq x \leq b,x为参数)$$

$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)}$

$\frac{dY}{dX} = \frac{f\prime(\xi)}{F\prime(\xi)}$

$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f\prime(\xi)}{F\prime(\xi)}$

1. 在[a,b]上连续；
2. 在(a,b)内可导，且$F^\prime(x)$ ≠ $0$;

$$\frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f\prime(\xi)}{F\prime(\xi)}$$

## 洛必达法则

1. $\lim\limits_{\Delta x \to a} f(x) = \lim\limits_{\Delta x \to a} g(x) = 0 (或\infty)$; (极限无穷小或无穷大)
2. 在$\mathring{U}(a)$内，$f\prime(x)$和$g\prime(x)$都存在，且$g^\prime(x)$ ≠ $0$;
3. $\lim\limits_{\Delta x \to a} \frac{f\prime(x)}{g\prime(x)} = A(A可为实数，也可以是\infty)$,(求导之后的极限存在)

$$\lim\limits_{\Delta x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim\limits_{\Delta x \to a} \frac{f\prime(x)}{g\prime(x)} = A$$

## 泰勒展开式

$g(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n$ ①

$f(0)=g(0) = e^0 = 1$ 得到 $a_0 = 1$
$f^\prime(0) = g^\prime(0) = 1$
$f^{\prime\prime}(0) = g^{\prime\prime}(0) = 1$
...
$f^n(0) = g^n(0)$

$$g(x) = f(0) + \frac{f^\prime(0)}{1!}x + \frac{f{\prime\prime}(0)}{2!}x2 + \frac{f3(0)}{3!}x3 + ... + \frac{fn(0)}{n!}xn$$

$$g(x) = f(a) + \frac{f^\prime(a)}{1!}(x-a) + \frac{f{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)2 + \frac{f3(a)}{3!}(x-a)3 + ... + \frac{fn(a)}{n!}(x-a)n$$

$n$后的无穷多项通过$R_n(x)$来表示。

# 不定积分

$\int$积分号,$f(x)$被积函数，$f(x)dx$被积表达式，$x$积分变量

1. $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$
2. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ ($k$为常数，且不为零)

# 定积分

$$\int ^a_b f(x)dx = F(b) - F(a)$$

# 函数单调性与极值

## 函数单调性

1. 若$f^\prime(x) > 0 \Longrightarrow f(x)$在$(a,b)$内单调递增；
2. 若$f^\prime(x) < 0 \Longrightarrow f(x)$在$(a,b)$内单调递减；

## 函数极值

1. $f(x) < f(x_0)$,称$f(x_0)$为极大值，$x_0$为极大值点
2. $f(x) > f(x_0)$,称$f(x_0)$为极小值，$x_0$为极小值点

1. 极值是局部性概念
2. 可以有多个极大值或极小值
3. 端点不是极值点(极值只在区间内部取得)

1. 若$f^{\prime\prime}(x) < 0 \Longrightarrow f(x_0)$是极大值
2. 若$f^{\prime\prime}(x) > 0 \Longrightarrow f(x_0)$是极小值
3. 若$f^{\prime\prime}(x) = 0$，无法判定

# 曲线的凹凸与拐点

## 凹凸

1. 若曲线$f(x)$上任一点切线位于曲线的下方，则称曲线在$(a,b)$内是凹的，区间$(a,b)$称为凹区间；
2. 若曲线$f(x)$上任一点切线位于曲线的上方，则称曲线在$(a,b)$内是凸的，区间$(a,b)$称为凸区间；

1. 若在$(a,b)$内$f^{\prime\prime}(x) > 0$，则$f(x)$在$(a,b)$内是凹的；
2. 若在$(a,b)$内$f^{\prime\prime}(x) < 0$，则$f(x)$在$(a,b)$内是凸的；

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