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编程之美之2.7 最大公约数问题

时间:2014-05-21 09:28:26      阅读:275      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:编程之美   面试   校园招聘   剑指offer   

问题:

求两个数的最大公约数

解法一:

欧几里得辗转相除法:

f(x,y) = GCD(x,y), 取k = x / y, b = x % y,则:x = k*y + b;
如果一个数能整除x,y,则它也能整除b,y; 而且能整除b,y的数必能整除x,y,即x,y和b,y的公约数是相同的,其最大公约数也是相同的,即f(x,y) = f(y ,x % y) (x>=y>0)


例如,计算a = 1071和b = 462的最大公约数的过程如下:从1071中不断减去462直到小于462(可以减2次,即商q0 = 2),余数是147:
1071 = 2 × 462 + 147.
然后从462中不断减去147直到小于147(可以减3次,即q1 = 3),余数是21:
462 = 3 × 147 + 21.
再从147中不断减去21直到小于21(可以减7次,即q2 = 7),没有余数:
147 = 7 × 21 + 0.
此时,余数是0,所以1071和462的最大公约数是21

递归算法:

  1. #include<stdio.h>   
  2.   
  3. //递归形式   
  4. int GCD(int a,int b)  
  5. {   
  6.     if(b == 0){  
  7.         return a;  
  8.     }  
  9.     else{  
  10.         //a,b和b,a%b有相同的最大公约数  
  11.         return GCD(b,a%b);  
  12.     }  
  13.   
  14. }   
  15.   
  16. int main(){  
  17.     int a,b;  
  18.     scanf("%d %d",&a,&b);  
  19.     printf("%d\n",GCD(a,b));  
  20. }  

例如GCD(1071, 462)的计算过程是:

函数的第一次调用计算GCD(462, 1071 mod 462) = GCD(462, 147);

下一次调用计算           GCD(147, 462 mod 147) = GCD(147, 21),

在接下来是                   GCD(21, 147 mod 21) = GCD(21, 0) = 21。

非递归算法:

  1. #include<stdio.h>   
  2.   
  3. //非递归形式   
  4. int GCD(int a,int b)  
  5. {   
  6.     int temp = a;  
  7.     while(b){  
  8.         a = b;  
  9.         b = temp % b;  
  10.     }  
  11.     return a;  
  12. }   
  13.   
  14. int main(){  
  15.     int a,b;  
  16.     scanf("%d %d",&a,&b);  
  17.     printf("%d\n",GCD(a,b));  
  18. }  

解法二:

在解法一中我们用到了取模运算。在大整数中取模运算(涉及到除法运算)是非常高贵的开销。

我们想想避免用取模运算。

类似前面的分析,一个数能整除x,y则必能同时整除x - y,y。能同时整除x - y,y 则必能同时整除x,y。即x,y的公约数和x-y,y的公约数是一样的,其最大公约数也是一样的。

  1. #include<stdio.h>   
  2.   
  3. int GCD(int a,int b)  
  4. {   
  5.     //如果a < b  
  6.     if(a < b){  
  7.         return GCD(b,a);  
  8.     }  
  9.     if(b == 0){  
  10.         return a;  
  11.     }  
  12.     else{  
  13.         return GCD(a - b,b);  
  14.     }  
  15. }   
  16.   
  17. int main(){  
  18.     int a,b;  
  19.     scanf("%d %d",&a,&b);  
  20.     printf("%d\n",GCD(a,b));  
  21. }  
此解法用减法而不是除法,这样迭代的次数比除法要多,当遇到f(10000000,1)的情况时这不是一个好方法。


解法三:

分析:

对于x,y,如果y = k * y1,x = k * x1,则f(y,x) = K*f(x1,y1);

如果x = p * x1, 假设p是素数,且 y % p != 0 ,即y不能被p整除,则f(x,y) = f(x1,y).

可以利用上面两点进行改进。因为2是素数,同时对于二进制表示的大整数而言可以很容易的将除以2和乘以2的算法转换为移位运算,从而避免大整数除法。

可以充分利用2进行分析:
若x,y都为偶数(2肯定是公约数),则f(x,y) = 2*f(x / 2,y / 2) = 2*f(x>>1,y>>1);
若x为偶数,y为奇数(2肯定不是公约数),则f(x,y) = f(x / 2, y / 2) = f(x>>1, y)
若x为奇数,y为偶数2肯定不是公约数),则f(x,y)= f(x, y / 2) = f(x, y>>1)
若x,y都为奇数(2肯定不是公约数),则f(x,y) = f(y, x-y)    (x-y肯定为偶数) = f(y, (x-y)/2)

  1. #include<stdio.h>   
  2. //判断奇偶性  
  3. int IsEvenOdd(int n){  
  4.     if(n % 2 == 0){  
  5.         return 1;  
  6.     }  
  7.     else{  
  8.         return 0;  
  9.     }  
  10. }  
  11.   
  12. int GCD(int a,int b)  
  13. {   
  14.     //如果a < b  
  15.     if(a < b){  
  16.         return GCD(b,a);  
  17.     }  
  18.     if(b == 0){  
  19.         return a;  
  20.     }  
  21.     //若x,y都为偶数  
  22.     if(IsEvenOdd(a) == 1 && IsEvenOdd(b) == 1){  
  23.         return 2 * GCD(a>>1,b>>1);  
  24.     }  
  25.     //若x,y都为奇数  
  26.     else if(IsEvenOdd(a) == 0 && IsEvenOdd(b) == 0){  
  27.         return GCD(b,a-b);  
  28.     }  
  29.     //若x是偶数y是奇数  
  30.     else if(IsEvenOdd(a) == 1 && IsEvenOdd(b) == 0){  
  31.         return GCD(a>>1,b);  
  32.     }  
  33.     //若x是奇数y是偶数  
  34.     else{  
  35.         return GCD(a,b>>1);  
  36.     }  
  37. }   
  38.   
  39. int main(){  
  40.     int a,b;  
  41.     scanf("%d %d",&a,&b);  
  42.     printf("%d\n",GCD(a,b));  
  43. }  

这个算法的好处就是用移位操作来代替除法操作,大大节约时间。



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编程之美之2.7 最大公约数问题

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原文地址:http://blog.csdn.net/sunnyyoona/article/details/26380917

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