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独立任务最优调度问题

时间:2014-05-21 18:23:32      阅读:274      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:c   a   int   strong   使用   数据   

问题描述:独立任务最优调度,又称双机调度问题:用两台处理机A和B处理n个作业。设第i个作业交给机器A处理时所需要的时间是a[i],若由机器B来处理,则所需要的时间是b[i]。现在要求每个作业只能由一台机器处理,每台机器都不能同时处理两个作业。设计一个动态规划算法,使得这两台机器处理完这n个作业的时间最短(从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总的时间)。研究一个实例:n=6, a = {2, 5, 7, 10, 5, 2}, b = {3, 8, 4, 11, 3, 4}.

 

分析:当完成k个作业,设机器A花费了x时间,机器B所花费时间的最小值肯定是x的一个函数,设F[k][x]表示机器B所花费时间的最小值。则F[k][x]=Min{ F[k-1][x]+b[k], F[k-1][x-a[k]] };其中F[k-1][x]+b[k]表示第k个作业由机器B来处理(完成k-1个作业时机器A花费的时间仍是x),F[k-1][x-a[k]]表示第k个作业由机器A处理(完成k-1个作业时机器A花费的时间是x-a[k])。

      那么单个点对较大值Max(x, F[k][x]),表示此时(即机器A花费x时间的情况下)所需要的总时间。而机器A花费的时间x是变化的,即x=0,1,2……x(max),(理论上x的取值是离散的,但为编程方便,设为整数连续的)由此构成了点对较大值序列。要求整体时间最短,取这些点对较大值序列中最小的即是。

    理解难点在于B是A的函数表达式,也即动态规划所在。花点时间,看懂表达式,加上思考,理解了这点一切OK,后面的编程实现完全依据这个思想。先用前两个任务的枚举示例来帮助理解。

 

示例:前两个作业示例足矣。

初始化第一个作业:下标以0开始。

首先,机器A所花费时间的所有可能值范围:0 <= x <= a[0].
设x<0时,设F[0][x]= ∞,则max(x, ∞)= ∞;记法意义见下。
x=0时,F[0][0]=3,则Max(0,3)=3,机器A花费0时间,机器B花费3时间,而此时两个机器所需时间为3; 
x=1时,F[0][1]=3,Max(1,3)=3;
x=2时,F[0][2]=0,则Max(2,0)=2;

那么上面的点对序列中,可以看出当x=2时,完成第一个作业两台机器花费最少的时间为2,此时机器A花费2时间,机器B花费0时间。

 

来看第二个作业:

       首先,x的取值范围是:0 <= x <= (a[0] + a[1]).
       当x<0时,记F[1][x] = ∞;这个记法编程使用,因为数组下标不能小于0。在这里的实际含义是:x是代表完成前两个作业机器A的时间,a[1]是机器A完成第2个作业的时间,若x<a[1],则势必第2个作业由机器B来处理,即在Min()中取前者。

x=0,则F[1][0]= Min{ F[0][0]+b[2], F[0][0-a[1]] }= Min{3+8,∞}=11,进而Max(0,11)=11;
x=1,则F[1][1]= Min{ F[0][1]+b[2], F[0][1-a[1]] }= Min{3+8,∞}=11,进而Max(11)=11;
x=2,则F[1][2]= Min{ F[0][2]+b[2], F[0][2-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8,进而Max(2,8)=8;
x=3,则F[1][3]= Min{ F[0][3]+b[2], F[0][3-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8,进而Max(3,8)=8;
x=4,则F[1][4]= Min{ F[0][4]+b[2], F[0][4-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8,进而Max(4,8)=8;
x=5,则F[1][5]= Min{ F[0][5]+b[2], F[0][5-a[1]] }= Min{0+8,3}=3,进而Max(5,3)=5;
x=6,则F[1][6]= Min{ F[0][6]+b[2], F[0][6-a[1]] }= Min{0+8,3}=3,进而Max(6,3)=6;
x=7,则F[1][7]= Min{ F[0][7]+b[2], F[0][7-a[1]] }= Min{0+8,0}=0,进而Max(7,0)=7;

那么上面的点对序列中,可以看出当x=5时,完成两个作业两台机器花费最少的时间为5,此时机器A花费5时间,机器B花费3时间。

算法时间复杂度:按照上述思想,编程实现,结果如上图,算法时间复杂度为O(n*Sum),其中Sum为a中所有元素之和与b中所有元素之和的最小值。王晓东《算法设计与实验题解》中提供的方法时间复杂度是O(m*m*n*n*n),其中m为a、b所有元素的最大值。
      比较:Sum必然远远小于n*m;所以n*Sum<n*n*m,相比之下差了O(n*m)都不止,看来这个思想还是蛮优秀的。。。。

程序如下,数据通过“input.txt”输入:

#include<iostream> 
#include<fstream>
#include<iomanip>  
using namespace std;  
const int SIZE=50;  
const int MAXINT=999;  
int main(){  
      
while(1){  
int N,a[SIZE],b[SIZE],SumA[SIZE],SumB[SIZE];  
int tempSumA,tempSumB,MinSum;  
int i=0,j,k;  
tempSumA=tempSumB=0;
int data;
int oriData[SIZE]; 
//记录A,B完成当前任务所需时间  
//Read input.txt
 ifstream ifile;
    ifile.open("input.txt");  
 if(ifile.eof()) 
    {
        cerr<<"Fail to open the file input.txt"<<endl;
        return 1;
    }
while(ifile>>data)
    {
  oriData[i++]=data;    //Recording data
    }

 N=(int)oriData[0];    //the number of task
// i=0;
 for (i=1;i<=N;i++)
 {
  a[i]=oriData[i];
  tempSumA+=a[i];  
  SumA[i]=tempSumA;
 }
 for (i=1,j=N+1;j<=2*N;j++,i++)
 {
  b[i]=oriData[j];
  tempSumB+=b[i];  
  SumB[i]=tempSumB;
 }

 //Show data of input.txt and data will process.
 cout<<"Input.txt Data:"<<endl;
 cout<<oriData[0]<<endl;
 for (i=1;i<=2*N; )
 {
  cout<<oriData[i]<<" ";
  i++;
  cout<<oriData[i]<<endl;
  i++;  
 }
/* cout<<"Data will process:"<<endl;
 for (i=0;i<cnt;i++)
 {
  cout<<proData[i]<<" ";
 }*/
 cout<<endl;
    ifile.close();
/*cin>>N;  
if(N<=0)break;  
int tempSumA,tempSumB,MinSum;  
int i,j,k;  
tempSumA=tempSumB=0;  
for(i=1;i<=N;i++){  
cin>>a[i];  
tempSumA+=a[i];  
SumA[i]=tempSumA;  
}  
for(i=1;i<=N;i++){  
cin>>b[i];  
tempSumB+=b[i];  
SumB[i]=tempSumB;  
}  */
MinSum=(tempSumB>tempSumA)?tempSumA:tempSumB;  
//时间上限AB总和的最小值  
///动态二维数组   
int *MaxTime=new int [MinSum+1];  
int **F=new int*[N+1];  
for(i=0;i<N+1;i++)  
F[i]=new int [MinSum+1];  
SumB[0]=0;  
for(i=0;i<=N;i++){  
F[i][0]=SumB[i];//SumB[0]没赋值,调试时会输出地址   
for(j=1;j<=MinSum;j++)  
F[i][j]=0;  
}  
/*for(i=0;i<=N;i++){ 
for(j=0;j<=MinSum;j++) 
cout<<setw(2)<<F[i][j]<<" "; 
cout<<endl; 

cout<<endl;*/  
int temp;  
for(k=1;k<=N;k++){  
   temp=(SumA[k]>SumB[k])?SumB[k]:SumA[k];  
   for(i=1;i<=temp;i++){ //A最多用AB前k任务的最小值,如果B最少就全用B做。  
      if(i>=a[k])//等于号不能少   
    F[k][i]=(F[k-1][i]+b[k]<F[k-1][i-a[k]])?F[k-1][i]+b[k]:F[k-1][i-a[k]];  
      else F[k][i]=F[k-1][i]+b[k];  
                        }   
                  }  
                    
/*for(i=0;i<=N;i++){ 
for(j=0;j<=MinSum;j++) 
cout<<setw(2)<<F[i][j]<<" "; 
cout<<endl; 
                  } 
cout<<endl;      */  
        
temp=MAXINT;  
for(i=0;i<=MinSum;i++){  
 MaxTime[i]=(i>F[N][i])?i:F[N][i];  
if(temp>MaxTime[i])  
temp=MaxTime[i];  
                       }  
//cout<<temp<<endl;

//out.txt
ofstream ofile;  //write file
 ofile.open("output.txt");
/* int result=0;
 for(int i=0;i<c;i++)
 {
  result+=abs(Data[i]-m);
 }*/
 ofile<<temp<<endl;
ofile.close();
cout<<"最优时间为:"<<temp<<endl;
while(1);
///////////////////////////////////  
/*for(i=0;i<N+1;i++)  
delete [] F[i];  
delete [] F;  
delete [] MaxTime;  
F=NULL;   */
}  
////////////////////////////////  
//system("pause");  
//return 0;      
    }  

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原文地址:http://www.cnblogs.com/is-zj/p/3740207.html

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