[问题2014A13] 解答

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先引入两个简单的结论.

结论 1  设 \(\varphi\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换, 若存在正整数 \(k\), 使得 \(\mathrm{r}(\varphi^k)=\mathrm{r}(\varphi^{k+1})\), 则 \[\mathrm{Im\,}\varphi^k=\mathrm{Im\,}\varphi^{k+1}=\mathrm{Im\,}\varphi^{k+2}=\cdots.\]

结论 1 的证明  对任意的正整数 \(k\), 显然有 \(\mathrm{Im\,}\varphi^k\supseteq\mathrm{Im\,}\varphi^{k+1}\), 故由 \(\mathrm{r}(\varphi^k)=\mathrm{r}(\varphi^{k+1})\) 即得 \(\mathrm{Im\,}\varphi^k=\mathrm{Im\,}\varphi^{k+1}\). 因此, 我们只要证明对任意的正整数 \(l\geq k\),  \(\mathrm{Im\,}\varphi^l=\mathrm{Im\,}\varphi^{l+1}\) 即可. 一方面的包含是显然的, 现证 \(\mathrm{Im\,}\varphi^l\subseteq\mathrm{Im\,}\varphi^{l+1}\). 任取 \(\varphi^l(\alpha)\in\mathrm{Im\,}\varphi^l\), 则 \(\varphi^l(\alpha)=\varphi^{l-k}(\varphi^k(\alpha))\). 又存在 \(\beta\in V\), 使得 \(\varphi^k(\alpha)=\varphi^{k+1}(\beta)\), 从而 \(\varphi^l(\alpha)=\varphi^{l-k}(\varphi^{k+1}(\beta))=\varphi^{l+1}(\beta)\in\mathrm{Im\,}\varphi^{l+1}\). 

结论 2  设 \(\varphi,\psi\) 是 \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换, 则 \(\mathrm{r}(\varphi\psi)\geq \mathrm{r}(\varphi)+\mathrm{r}(\psi)-n\).

结论 2 的证明  这就是关于秩的 Sylvester 不等式, 可参考复旦高代书第 201 页习题 7.

回到本题的证明. 由假设存在充分大的正整数 \(N\), 使得 \(\varphi^N=0\). 下面用归纳法来证明 \(\mathrm{r}(\varphi^k)=n-k\), \(1\leq k\leq n\). \(k=1\) 时就是题中假设. 设 \(\mathrm{r}(\varphi^k)=n-k\), 其中 \(1\leq k<n\), 现证 \(\mathrm{r}(\varphi^{k+1})=n-(k+1)\). 由结论 2 知 \[\mathrm{r}(\varphi^{k+1})=\mathrm{r}(\varphi^k \varphi)\geq \mathrm{r}(\varphi^k)+\mathrm{r}(\varphi)-n=n-(k+1).\] 又 \(\mathrm{r}(\varphi^{k+1})\leq \mathrm{r}(\varphi^k)=n-k\), 若 \(\mathrm{r}(\varphi^{k+1})=\mathrm{r}(\varphi^k)=n-k\), 则由结论 1 知 \(0 \neq n-k=\mathrm{r}(\varphi^k)=\mathrm{r}(\varphi^N)=0\), 矛盾. 因此只能是  \(\mathrm{r}(\varphi^{k+1})=n-(k+1)\), 从而结论得证. 特别地, 我们知道 \(r(\varphi^{n-1})=1\) 并且 \(\varphi^n=0\). 取 \(\alpha\in V\) 使得 \(\varphi^{n-1}(\alpha)\neq 0\), 但 \(\varphi^n(\alpha)=0\). 最后由复旦高代书第 206 页复习题 13 可知 \(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha)\) 是 \(V\) 的一组基, 从而 \[V=L(\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha),\varphi^n(\alpha),\cdots).\,\,\,\Box\]

注  在学了矩阵的 Jordan 标准形理论之后, 我们可以给出 [问题2014A13] 的一个十分简洁的代数证明.

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