树 -- 基本知识

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自由树

　　自由树是一个连通,无回路的无向图. 显然树是图的一种.

      如果一个无向图虽然无回路,但是可能非联通,那么这个图成为森林.(森林可以调整为一颗二叉树[左儿子,右兄弟]). 森林是m（m>=0）棵互不相交的树的集合。

　　令G = (V,E)为一个无向图.则以下6点是等价的.

　　1) G是自由树;

　　2) G中任意两个顶点由唯一一条简单路径相连;

　　3) G是连通的,但是从E中去除任何边后得到的图都是不连通的;

　　4) G是连通的,且 |E| = |V| - 1;

　　5) G是无回路的, 且|E| = |V| - 1;

　　6) G是无回路的,但添加任何边到E中后得到的图包含回路;

有根树

　　从根root到树中某一节点x的唯一简单路径上的节点y称为x的祖先.

　　如果y是x的一个祖先,则x是y的子孙.

　　如果y是x的祖先,且 y != x,则y是x的真祖先, x是y的真子孙.

      有根树中节点x的子女个数称为x的度.

　　从根root到节点x的路径长度称为x在树中的深度.

　　从节点x向下到某个叶节点最长简单路径中边个个数称为x的高度.　　树的高度是其根的高度,同时也等于树中节点的最大深度.

二叉树

　　满二叉树(Full Binary Tree):　

　　　　第一种定义：任意节点或者是叶节点，或者度为2，不存在度为1的节点。

　　　　第二种定义：一颗深度为k，且有2^k-1个节点的二叉树。

　　完全二叉树(Complete Binary Tree):  所有叶节点具有相同的深度,且所有的内部节点度都为2.

　　二叉树的性质：

　　1）在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点。

　　2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点。

　　3）对任何一颗二叉树T，如果其叶子节点的个数为m，度为2的节点树为n，则m = n + 1

　　　　 假设度为1的节点个数为k，则总结点数为 m + n + k

　　　　 通过节点的度，可以确定总边数为2*n + k

　　　　 因为|E| = |V| + 1 , 因此 m + n + k = 2*n + k + 1，即m = n + 1

　　4)具有n个节点的完全二叉树的深度为floor(log₂n)+1

　　5)如果对一颗有n个节点的完全二叉树的节点按层序编号，则对任一节点，有

　　　　【1】如果i == 1，则节点i是二叉树的根，则无父节点；否则，父节点为floor(i/2)

　　　　【2】如果2*i > n，则节点i是叶子节点，无左儿子；否则其左儿子为2*i

　　　　【3】如果2*i + 1 > n，则节点i无右儿子；否则其右儿子为2*i + 1

参考

　　1）算法导论

　　2）数据结构 -- 严蔚敏

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原文地址：http://www.cnblogs.com/carlsama/p/4192576.html