在线学习（Online Learning）

      原题目叫做The perception and large margin classifiers，其实探讨的是在线学习。这里将题目换了换。以前讨论的都是批量学习（batch learning），就是给了一堆样例后，在样例上学习出假设函数h。而在线学习就是要根据新来的样例，边学习，边给出结果。

      假设样例按照到来的先后顺序依次定义为。X为样本特征，y为类别标签。我们的任务是到来一个样例x，给出其类别结果y的预测值，之后我们会看到y的真实值，然后根据真实值来重新调整模型参数，整个过程是重复迭代的过程，直到所有的样例完成。这么看来，我们也可以将原来用于批量学习的样例拿来作为在线学习的样例。在在线学习中我们主要关注在整个预测过程中预测错误的样例数。

      拿二值分类来讲，我们用y=1表示正例，y=-1表示负例。回想在讨论支持向量机中提到的感知算法（perception algorithm）。我们的假设函数为

      

      其中x是n维特征向量，是n+1维参数权重。函数g用来将计算结果映射到-1和1上。具体公式如下：

      

      这个也是logistic回归中g的简化形式。

      现在我们提出一个在线学习算法如下：

      新来一个样例，我们先用从之前样例学习到的来得到样例的预测值y，如果（即预测正确），那么不改变，反之

      

      也就是说，如果对于预测错误的样例，进行调整时只需加上（实际上为正例）或者减去（实际负例）样本特征x值即可。初始值为向量0。这里我们关心的是的符号，而不是它的具体值。调整方法非常简单。然而这个简单的调整方法还是很有效的，它的错误率不仅是有上界的，而且这个上界不依赖于样例数和特征维度。

下面定理阐述了错误率上界：

      定理（Block and Novikoff）：

      给定按照顺序到来的样例。假设对于所有的样例，也就是说特征向量长度有界为D。更进一步，假设存在一个单位长度向量且。也就是说对于y=1的正例，，反例，u能够有的间隔将正例和反例分开。那么感知算法的预测的错误样例数不超过。

      根据前面对SVM的理解，这个定理就可以阐述为：如果训练样本线性可分，并且几何间距至少是，样例样本特征向量最长为D，那么感知算法错误数不会超过。这个定理是62年提出的，63年Vapnik提出SVM，可见提出也不是偶然的，感知算法也许是当时的热门。

下面主要讨论这个定理的证明：

      感知算法只在样例预测错误时进行更新，定义是第k次预测错误时使用的样本特征权重， 初始化为0向量。假设第k次预测错误发生在样例上，利用计算值时得到的结果不正确（也就是说，调换x和顺序主要是为了书写方便）。也就是说下面的公式成立：

      

      根据感知算法的更新方法，我们有。这时候，两边都乘以u得到

      

      两个向量做内积的时候，放在左边还是右边无所谓，转置符号标注正确即可。

      这个式子是个递推公式，就像等差数列一样f(n+1)=f(n)+d。由此我们可得

      

      因为初始为0。

      下面我们利用前面推导出的和得到

      也就是说的长度平方不会超过与D的平方和。

      又是一个等差不等式，得到：

      

      两边开根号得：

      

      其中第二步可能有点迷惑，我们细想u是单位向量的话，

      

      因此上面的不等式成立，最后得到：

      

      也就是预测错误的数目不会超过样本特征向量x的最长长度与几何间隔的平方。实际上整个调整过程中就是x的线性组合。

      整个感知算法应该是在线学习中最简单的一种了，目前发现online learning挺有用的，以后多多学习。